张田田

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b²-4ac在初中数学学习中占有非常重要的地位，它是解决一元二次方程相关问题的重要工具，也是中考的必考知识点。利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，在解决方程、函数、不等式等问题时也有广泛的应用。下面就根的判别式在解题中的应用举例说明，以期对同学们的学习有所帮助。

苏科版数学教材九年级上册“一元二次方程”第20页的习题中有这样一题：

例1 k取什么值时，关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0有两个相等的实数根？有两个不相等的实数根？没有实数根？

【分析】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式的知识。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况可以由根的判别式b²-4ac的符号来判定。当Δ=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;当Δ=b²-4ac<0时，方程没有实数根。故先用含k的代数式表示b²-4ac，再分别用b²-4ac=0，b²-4ac>0，b²-4ac<0求出相应的k的取值范围。

变式1 （2020·江苏南京）关于x的方程（x-1）（x+2）=p²（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）。

A.两个正根

B.两个负根

C.一个正根，一个负根

D.无实数根

【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系两个知识点。先把方程（x-1）（x+2）=p²化为一般式，根据根的判别式A=b²-4ac的符号来判断方程根的个数，再根据根与系数的关系x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a来判断根的正负性，即可求解。

解：将原方程化为x²+x-2-p²=0，

则Δ=b²-4ac=1+8+4p²=9+4p²0，可知方程有两个不相等的实数根。

因为x¹·x²=c/a=-2-p²<0，

所以此方程有一个正根，一个负根，故选C。

变式2 已知关于x的方程mx²+（3m-2）x+2m-2=0。

（1）求证：方程总有实数根;

（2）若方程有两个整数根，求整数m的值。

【分析】本题考查含字母系数方程的根的情况。（1……