刘 超，王旭东，苏彦卓，丁 一，梁 栋

(1.国网天津市电力公司 城东供电分公司，天津 300250；2.国网天津市电力公司 电力科学研究院，天津 300201；3.河北工业大学 电气工程学院，天津 300130)

准确、可靠的网络拓扑结构是电力系统分析计算的基础。目前输电网数据采集与监控系统较为完善，调度人员可实时监控网络拓扑结构并通过状态估计器识别拓扑错误；但是，在配电网尤其低压配电网中，分布式电源、新用户、即插即用设备的无序接入、网络扩展与改建等状况导致配电网拓扑变化频繁，并且缺乏维护，为故障的及时处理带来极大困难，严重影响了配电网运行维护效率，因此，研究复杂配电网拓扑辨识，有效应对分布式电源、用户的大量接入等状况具有重要意义。

传统的拓扑辨识多采用基于状态估计的方法辨识少量的网络拓扑错误[1-4]。高级量测体系(AMI)的建设使得基于智能电表数据学习隐藏的网络拓扑提供了可能。文献[5]中建立了节点导纳矩阵估计模型，采用自适应最小绝对收缩与选择算子(LASSO)算法求解稀疏节点导纳矩阵。文献[6]中将相邻时刻电压量测之差视作高斯随机变量，通过求解LASSO回归系数识别邻居节点。文献[7]中通过计算所有成对节点电压随机变量的互信息并排序，进而采用生成树算法生成网络结构。文献[8]中基于极大似然估计提出了配电网参数、拓扑交替求解算法。文献[9-10]中基于电压幅值与注入功率之间的线性近似方程，研究了冗余建设的中压配电网实际运行线路集合的辨识方法。文献[11]中基于电表有功电量数据，采用主成分分析法提出了辐射状低压配电网拓扑辨识的矩阵判据。文献[12-13]中提出通过计算负荷间耦合节点电压和支路电流的相关系数，确定各负荷所属的馈线及节点上下游关系，实现低压配电网拓扑校验。上述方法存在的共同问题是在量测误差增大时误差率较高。

本文中提出一种基于AMI量测的图模型近邻估计(GMNE)的配电网拓扑辨识方法。首先，将相邻时刻AMI系统电压幅值量测之差视作高斯随机变量，建立由随机变量组成的概率图模型的精度矩阵估计模型；其次，采用近邻估计算法求解图模型精度矩阵；最后，根据精度矩阵的稀疏结构，采用生成树算法重建出配电网拓扑，通过配电网标准算例验证所提方法的有效性。

1 电力网络与概率图模型

概率图模型是一种表示大量随机变量之间复杂联系的工具。以下简要介绍电力网络对应的图模型[10]。

1.1 线性潮流公式

电力网络中节点注入有功、无功功率方程为

(1)

式中：pi、qi分别为节点i的注入有功、无功功率；vi、vj分别为节点i、j的电压幅值；θij为始、末端节点i、j间的相角差，θij=δi-δj，其中δi、δj分别为节点i、j的相角；Gij、Bij分别为节点导纳矩阵中的对应元素；n为网络节点数量。

若假设节点电压幅值接近于根节点电压1.0(标幺值)，且相邻节点相角差很小，可得近似线性潮流公式[10]

(2)

式中：gij、βij分别为支路i-j(始、末端节点分别为i、j的支路)的串联电导、电纳；εi、εj分别为电压偏离根节点电压，εi=vi-1，εj=vj-1；E为网络所有支路集合。

由此，所有节点注入有功功率向量p和注入无功功率向量q可通过所有节点电压幅值向量ε、相角向量δ线性表示出来，即

(3)

式中：Hg=ATdiag(g)A,Hβ=ATdiag(β)A。

视在功率向量s为

s=p+jq=ATdiag(z*)A(y-jδ)，

(4)

通过运用分块矩阵求逆公式，可由式(3)解得由注入有功、无功功率到节点电压偏差向量、相角向量的逆变换公式，即

(5)

式中：R=[ATdiag(r)A]-1,X=[ATdiag-1(x)A]-1。

同样，以所有节点电压幅值、相角为实部、虚部组成的复电压向量u通过所有节点注入视在功率线性表示为

u=v-jδ=[ATdiag(z*)A]-1s=Ms。

(6)

1.2 电力网络图模型

假设节点注入视在功率服从独立高斯分布，则联合概率密度函数P(s)为各节点注入视在功率边缘概率密度函数Pi(si)之积，即

(7)

式中：B为网络所有节点集合。

根据随机变量向量的线性变换理论，所有节点电压幅值、相角联合概率密度函数P(u)为

(8)

式中：N(i)为节点i的邻居节点；det(·)为矩阵行列式算子。

由于节点i注入有功、无功功率仅取决于节点i及其相邻节点的电压，因此：1)若i、j为相邻节点，则ui、uj同时存在于Pi(·)、Pj(·)中；2)若i、j为二阶邻居节点且存在共同的邻居节点k，则ui、uj同时存在于Pk(·)中；3)若i、j为p阶邻居节点且p>2，则ui、uj不会同时存在于任何一个Pk(·)中，k=1，2，…，n。

由此可见，电力网络的所有电压随机变量组成一个概率图模型，其中仅相邻节点和二阶邻居节点之间存在概率依赖关系，即给定i的所有相邻节点和二阶邻居节点，则i节点电压与剩余节点电压条件独立，即

vi⊥v{i,N(i),NⅡ(i)}|v{N(i), NⅡ(i)}，

(9)

式中NⅡ(i)表示节点i的二阶邻居节点。

若要估计电力网络电压随机变量组成的图模型结构，需要多个电压幅值、相角作为样本。由于电压随机变量组成的图模型是时变的，每个时刻仅有一个电压幅值、相角向量样本数据，因此可以通过估计相邻时刻电压差随机变量所组成的图模型来辨识网络拓扑。

实际上AMI系统仅能获取电压幅值数据，对于时刻t，将所有节点电压幅值vt通过注入功率线性表示为

vt≈Rpt+Xqt+v01，

(10)

式中1为所有元素都为1的n维列向量。

将相邻时刻的电压幅值作差，可得

(11)

式中：nt为t时刻的线性近似误差。

2 基于图模型近邻估计的配电网拓扑辨识

2.1 数学模型

(12)

样本协方差矩阵的逆矩阵可以作为精度矩阵的一个近似，若样本数据不足，则协方差矩阵奇异，无法通过求逆获取精度矩阵。虽然样本数据充足；但是直接求逆得到的精度矩阵并非稀疏矩阵，无法据此辨识电力物理网络拓扑，因此，需要建立含L1正则项的精度矩阵极大似然估计模型[14]，即

(13)

2.2 模型求解

上述精度矩阵估计模型的一种求解思路是，对每个随机变量采用坐标下降法求解LASSOO模型，估计其图模型中的近邻。图形的LASSO算法[14]可用于上述模型的快速求解，不直接估计精度矩阵Ω，而是估计协方差矩阵W。估计时对W的每一列依次求解，求解过程如下：

1)令j=1。

2)将S、W的第j行、第j列移到最后一行、最后一列，即

(14)

3)采用坐标下降算法求解LASSO回归模型，

(15)

4)解得β后，计算wj估计值为

(16)

5)更新W第j列，W第j列求解完毕。令j=j+1，重新执行2)，若W更新前后变化满足收敛条件，则算法停止。

解得协方差矩阵W后，对其求逆即可得到精度矩阵Ω，进而可通过Ω的稀疏结构辨识拓扑结构。

2.3 算法流程

所提出的配电网拓扑辨识算法步骤如下：

2)设置协方差矩阵初值W0、收敛精度，采用交叉验证法确定最优正则化参数λ，求解精度矩阵；

3)基于精度矩阵估计值采用Chow-Liu生成树算法重建拓扑，然后结合经验和实际地理信息进行修正。

3 算例分析

采用美国电气和电子工程师协会(IEEE)13节点三相不平衡配电网进行测试，单线图如图1所示。

图1 13节点配电网标准算例单线图

假设所有负荷均为恒功率单相负荷，并删除与633相连的低压母线634及配电变压器、节点671与675间的调压器。650为已知的变电站根节点，图中虚线框内部分为需要估计的拓扑结构。

采用英国伦敦市电表数据集[15]，该数据集是每隔30 min采集的居民用电量数据。选取23个用户从2013-01-02T0:00:00—2013-01-08T0:00:00共计288个时刻的用电数据，分配给IEEE 13节点系统的三相共计23个节点，并乘以一定的比例系数。在此基础上，采用配电网仿真工具OpenDSS[16]执行三相潮流计算生成电压幅值量测真值。在量测真值基础上，设置标准差为0.000 1(标幺值)的高斯随机误差，得到所有节点电压幅值量测曲线，如图2所示。对各节点相邻时刻电压差随机变量进行正态性检验，C相9个节点的频率直方图如图3所示。由图可以看出，各节点电压幅值差均近似服从正态分布。

图2 不同节点电压幅值曲线

图3 C相各节点电压差的频率直方图

分别采用GMNE法、协方差矩阵直接求逆法、文献[8]中提出的互信息法3种方法计算图模型的精度矩阵。其中，对于互信息法，2个高斯随机变量的互信息与它们之间的偏相关系数等价，因此计算所有随机变量的偏相关系数矩阵代替图模型精度矩阵。3种方法得到的精度矩阵热图如图4所示。由图可以看出：GMNE法估计出的精度矩阵为稀疏矩阵，且较好地辨识出了线路连接关系；协方差矩阵直接求逆法无法获取稀疏矩阵，且容易受相间耦合干扰，将来自不同相的节点判定为相连；互信息法与GMNE法效果相当。此外，后2种方法均存在明显的错误，如节点对632a、671a实际存在连接，互信息法的偏相关系数矩阵元素(632a，671a)值为-0.039(应为正值)，协方差矩阵直接求逆法的精度矩阵中元素(632a，671a)值为1 460 917.0(应为负值)，而GMNE法的精度矩阵中元素(632a，671a)值为-243 122.2，从而验证该方法的准确性。

(a)图模型近邻估计(GMNE)法

4 结论

本文中提出了一种基于AMI量测和图模型近邻估计的配电网拓扑辨识方法，通过将相邻时刻AMI系统电压幅值量测之差视作高斯随机变量，建立了由随机变量组成的概率图模型的精度矩阵估计模型，进而采用近邻估计算法求解图模型精度矩阵，通过精度矩阵的稀疏结构，采用生成树算法重建出配电网拓扑。通过IEEE配电网标准算例验证了该方法的有效性，具有一定的实际价值。后续将进一步研究含无负荷的隐节点情况下的配电网拓扑辨识。