摘 要：调和比是射影几何学中的射影不变量之一，一般用共线的四个点来定义。本文探讨它们在初等几何中的应用，目的在于沟通高等几何与初等几何的联系，简捷而巧妙地处理某些初等几何题。

关键词：调和比;透视中心;三点共线;重合

一、应用原理

在射影平面上，共线的四个点A、B、C、D的交比记为（AB，CD），定义为：（AB，CD）=（AC·BD）/（AD·BC）（其中AC、BD、AD、BC均为有向线段）。当（AB，CD）=-1时，称四点A、B、C、D调和共轭，-1称为调和比。交于一点O的四直线a、b、c、d，被一条不过O的直线L截于四点A、B、C、D，定义（ab，cd）=（AB，CD），如图。相应地，当（ab，cd）=-1时，称四直线a、b、c、d调和共轭。

二、应用举例

交比、调和比可用来解决许多初等几何问题，本文仅从两个方面探讨它在初等几何中的应用。

1.有关平分角度命题的证明。

从交比的定义可以看出，交比与角度无直接关系，因此，在解决这类问题时，首先需要把有关角度的问题转化成其它问题，然后证明。

例3设P为△ABC的高AD上的一点，BP、CP分别交AC、AB于E、F，则AD平分∠EDF。

证明（射影证法）：设EF与BC、AD分别交于G、H，过A作BC的平行线，分别交DE、DF、BC于E′、F′、G′∞，这样就可以通过证明A为E′F′的中点来得到AD平分∠EDF，因为以D为透视中心，直线EF上的四点E、F、H、G，分别对应直线E′F′上的四点E′、F′、A′、G′∞，由性质2可得：（EF，HG）=（E′F′，AG′∞）。另外，在完全四点形AEPF中应用性质4得：（EF，HG）=B（EF，HG）=-1

∴（E′F′，AG′∞）=-1，

由性质3可得：A为E′F′的中点，由条件可知AD为等三角形DE′F′的高。所以AD平分∠EDF。

证明（初等证法）：建立直角坐标系XOY：以BC所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，D为原点，记A（0，a），B（b，0），C（c，0），

P（0，p）倘若∠ACB=∠ADB=90。时，结论成立

当∠ACB≠∠ADB时，则有LCP：y=（x-c）p/（-c）LAB：y=（x-b）a/（-b）∴F（（pbc-abc）/（pb-ac），（pac-pab）/（pb-ac））

LBP：y=（x-b）p/（-b）LAC：y=（x-c）a/（-c）

得E（bc（p-a）/（pc-ab），pa（c-b）/（pc-ab））

∴KOF=pa（b-c）/bc（p-a）KOE=pa（c-b）/bc（p-a）∴KOF=-KOE

∠FDA=∠EDA即AD平分∠EDF。

2有關点线结合命题的证明。

证明“三点共线”或“三线共点”问题是初等几何的难点之一，利用交比、调和比的性质解决这类问题往往十分简单。在证明这类问题时，一般需要应用性质1。

例4证明三角形两个内角平分线与对边的交点，同其余一角的外角平分线与对边的交点在一条直线上。

如图，已知三角形ABC，∠B、∠C的内角平分线分别交AC、AB于E、F，∠A的外角平分线交BC

于D，欲证E、F、D共线。

证明：设BE与CF交于点O，BC与EF交于点D′，因为AO是∠A的内角平分线，由性质5，可得四直线AE、AF、AO、AD的交比A（EF，OD）=-1考察完全四点形BCEF，

由性质4得：A（EF，OD′）=-1∴A（EF，OD）=A（EF，OD′）

由性质1的对偶命题，可得AD与AD′重合，所以D与D重合，∵E、F、D′共线，∴E、F、D共线。

通过上述例子我们看到，由于初等几何所研究的图形仅限于直线形和圆这两大类，因此有些问题难以推广，某些貌似相近的问题也难以沟通，很难用初等证法解决，但用高等几何的方法就很简单。因此在初等几何中一些繁杂的问题以高等几何（通常指仿射几何、射影几何）的知识去观之，就会洞察它们的去向，发现它们的联系。

参考文献

[1]朱德祥编.《高等几何.》高等教育出版社，1983年.

[2]梅向明、刘增贤、林向岩编.《高等几何》.高等教育出版社，1983年.

[3]苏步青编.《高等几何讲义.》上海科学技术出版社，1964年.

作者简介：林冬梅、女、1984年5月、汉族、福建安溪、本科、讲师、辽宁地质工程职业学院教师、研究数学与应用数学方向;