摘 要：解三角形中一类条件不全，条件分散的问题学生一般束手无策，无从下手.经研究实践发现，可用向量来解;可用平面几何，作辅助线把分散的条件集中从而解决;也可以用解析几何建系通过计算解决;还可以保留“残缺”形式，用方程组解决.

关键词：解三角形;平面幾何;解析几何;正余弦定理

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0009-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：柳朝辉（1974.3-），女，湖南省岳阳人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

一、典型题目

例1 在△ABC中，已知AB=463 ，

cosB=66，AC上的中线BD=5求sinA的值.

例2 在△ABC中，D是边BC上的一点，

AD=2， BD=2DC，tan∠BAD=12，

tan∠CAD=13，求AB的长.

二、试题分析

这两道题目都不是常规的解三角形问题，也许题目有三个甚至是四个条件，但是对于每一个三角形而言，又都没有三个条件，所以每一个三角形都不是“可解三角形”.但方法选择适当，则可以求解，也许还大大减少计算量，反之，一筹莫展.

三、解法探究

例1 分析1 用BA，BC表示BD.

方法一

∵BD=12BA+BC，

∴BD2=14BA2+BC2+2BABCcos∠ABC，

即5=14323+BC2+83BC，

∴BC=2（BC=-143舍去）.

在△ABC中，BC=2，AB=463，cosB=66.

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，

∴BC=2213.

在△ABC中，ACsin∠ABC=BCsin∠CAB，

∴sinA=7014.

分析二 因为有中线，所以联想到作辅助线中位线.

方法二 如图3，作DE∥AB，则点E是BC的中点.在△BDE中，BD=5，DE=263，cos∠BED=-66，

∴BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED，

∴BE=1或BE=-73（舍）.

∴BC=2.（ 以下同法一）

分析三 用倍长中线法把分散的条件集中起来.

方法三 如图4，延长BD至E，使得DE=BD，连接CE，AE，则四边形ABCE为平行四边形.

在△ABE中，AB=463，BE=25，cos∠BAE=-66，

∴AE=2=BC.（以下同法一）

分析四 用分割的方法，求出图形中的各边.

方法四 如图5，延长BD至P，使DP=BD，连接AP，CP得平行四边形ABCP.过点A作AH⊥BC，过P点作PN⊥BC.

则AH=PN=AB·sinB=453，BH=43.

在直角三角形BNP中，BP2=BN2+NP2，

∴20=BN2+809，∴BN=103.

∴BC=103-CN=103-BH=2.（以下同法一）

分析五 用分割的方法.

方法五 如图5，作AH⊥BC，DQ⊥BC.

在△ABH中，AB=463， cosB=66，

∴AH=453，

BH=43，

∴DQ=253.

在△BDQ中，BD2=BQ2+QD2，

∴BQ=53，∴HQ=13，∴QC=13，

∴BC=2.（以下同法一）

分析六 建系求解.

方法六 如图7建系，

则A463cosB，463sinB，即A43，453.

令Cx，0，则中点D23+12x，253.

又∵BD=5，∴x=2.（以下同法一）

例2

分析一 利用平面几何构造“X”型相似，把分散的条件集中起来.

方法一 ∵tan∠BAD=12，tan∠CAD=13，

∴tan∠BAC=12+131-12×13=1，∴∠BAC=π4.

过点C作CE∥AB与AD的延长线交于点E，则△ABD∽△ECD且相似比为2.在△AEC中，由正弦定理可知

3sin3π4=EC110，

∴EC=355，

∴AB=655.

分析二 利用平面几何作辅助线，构造“A”型相似.

方法二 过D点作DF∥AC与AB交于F点，

所以△ABC∽△BDF，且相似比为32.

在△ADF中，sin∠FAD=15，AD=2，sin∠ADF=110.

由正弦定理可知

2sin3π4=AF110，∴AF=255，∴AB=655.

分析三 运用“方程组思想”.

方法三 在△ABD中，由正弦定理可知：

ABsin∠BDA=BDsin∠BAD，即ABsin∠BDA=5BD ①.

在△ADC中，由正弦定理可知：

ACsin∠CDA=CDsin∠CAD，

即ACsin∠CDA=10CD ②.

又因为BD=2DC，①÷②得AB=2AC.

由法一知∠BAC=π4，则△ABC是等腰直角三角形.如图10，在Rt△ACD中，由勾股定理有b2+（b3）2=22，得b=325，从而AB=2b=655.

分析四 当得到AB=2AC，也可以用分割

法求解.

方法四 由法三可知，AB=2AC，过D点作DF∥AC与AB交于F点，所以△ABC∽△BDF，且相似比为32.

令AC=b，则AB=2b，DF=23b，AF=2b3，cos∠BAD=255.在△ADF中由余弦定理可解得b=3105，∴AB=655.

分析五 运用“方程组思想”.

方法五 在△ABC和△ACD中，由正弦定理可知：

ABsin∠ACB=BCsin∠BAC ①，ADsin∠ACB=CDsin∠CAD ②.

①÷②得AB=655.

四、总结提升

总之，八仙过海，各显神通，一切知识可以“拿来主义”为我所用，数学知识到了顶层就可以说界线模糊.波得亚说过：中学数学教学的首要任务是加强解题训练，但是数学老师如何才能让数学教学不掉入“题海”之中，关键在于对问题的全面深入研究，教给学生解决问题的本质，思路的来源，让一切奇思妙想有迹可循，顺理成章.让思考成为学生的技能，让学生熟练运用自主思考.这样学生才可以举一反三，触类旁通，达到“做一个，会一片，懂一类”，这样才能保证教学的有效性.

参考文献：

[1]李宁.方程思想在解三角形求值问题中的应用[J].数理化解题研究，2019（22）：6-7.

[责任编辑：李 璟]