张小琴

必修五第一章《解三角形》是在初中学习了直角三角形边角关系和高中必修四学习了三角函数的基础上，进一步研究斜三角形中边与角的关系——正弦定理、余弦定理.这章以这两个定理为主体，进行解三角形的训练.在对本章进行教学与反思后，笔者发现这两个定理只是在研究三角形边角关系的基础上开出的鲜艳的“花朵”，而给这鲜艳花朵提供丰富营养的就是探究新问题时最常用的数学思想——化归思想，即将一般转化为特殊，将斜三角形转化为直角三角形，具体做法是做三角形的高，从而构造有一条公共高的两个直角三角形，而后在这两个直角三角形中，得到边与角的关系，再通过这条高衔接，从而得到原来的斜三角形中边角关系，即得到正余弦定理.再顺着这个思路纵深去考虑，为了得到一个斜三角形中边与角的关系，这条公共边不一定是高，还可以是其他的边，如：中线、角平分线等.再由特殊到一般去考虑，这条公共边也可以不是特殊的边，而是任意的边.因此，笔者将以上问题归结为一类问题，即“有一条公共边的两个三角形”，而且总结出解决这类问题的通法.下面一一作解.

1“公共边”为高的两个直角三角形

1.1正余弦定理的推导

在一个直角三角形中观察出边与角A，B，C满足asinA=bsinB=csinC之后，猜想该结论是否在斜三角形中成立（B版教材，以下提到的课本都是B版教材）.证明的方法是过三角形的一个顶点作高，将锐角三角形和钝角三角形转化为有一条公共边的两个直角三角形，再分别在两个直角三角形中寻找边与角的关系，并通过公共边去衔接，即证得正弦定理.同样，余弦定理的证明过程也是如此.体现出将一般的斜三角形转化为特殊的直角三角形、将未知转化为已知的化归思想.

1.2实际测量的运用

在实际测量中常需要构造有一条公共边的两个直角三角形，比如测量一个底部不能到达的建筑物的高度，如：在故宫护城河外测故宫一个角楼的高（B版1·2应用举例问题一），或者通过山顶的仰角测量山的高度，或者测量河堤的背水坡的倾斜角的大小（B版习题1-2A的第2、第3题）.在这些问题中涉及到被测量物的高度，所以需要构造直角三角形，而构造一个直角三角形往往条件不够，所以需要构造以高为公共边的两个三角形.

1.3高考题中的频现

基于理论的推导和现实中实际测量的需要，“公共边为高的两个直角三角形”也是近年高考中解三角形的高频考点.如2014年四川理科卷的13题，也就是以B版教材P15练习A：2为原型出的一道题：

图1如图1，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73）

显然，可以在直角三角形ADB中利用直角三角形中边角的关系求出AB的值，同理，再在三角形ACD中求出AC的值，然后在△ABC中利用余弦定理求BC.或者以AB为公共边，找到∠ABD与∠ABC互补的关系，根据内错角互补求∠ABD的正弦值，进而求出∠ABC的正弦值，再在△ABC中应用正弦定理求解.

图2再如：2014年课标Ⅰ高考文科卷的一道题：如图2，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=m.

解本题时，先在Rt△AMN中利用边角关系表达出边AM，同理在Rt△ABC中求出边AC，再在△AMC中利用正弦定理就求出边AM的值.

以上两道考题都属考试中的基础题，都是将直角三角形的边角关系与正余弦定理初步结合起来，进行简单的应用.

显然通过作高将斜三角形转化为直角三角形，并通过高为衔接，进而解斜三角形中的边与角的关系，这是课本中体现的解决问题的方法，也是高考中要考查的对基础知识的运用能力.因此，需要引起师生们的关注.

再纵深去考虑的话，不仅可以用高去衔接两个三角形，也可以通过中线和角平分线这样的特殊边去衔接两个三角形，去解三角形.

2“公共边”为中线和角平分线的两个斜三角形

2.1教材中的体现

课本在得出正弦定理，并进行简单的边角运算之后就给出一个以角平分线为公共边的解三角形的问题.

课本P5例2：如图3，在△ABC中，∠A的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：BDDC=ABAC.

证明令∠BAD=∠CAD=β，令∠BDA=α，则∠CDA=180°-α.在△ABD和△CAD中，由正弦定理得BDsinβ=ABsinα①，DCsinβ=ACsin（180°-α）=ACsinα②，

由①BDAB=sinβsinα，由②DCAC=sinβsinα，等量代换得BDAB=DCAC，再变形得BDDC=ABAC.

显然在本题中，公共边AD与边BC构成的两个角互补是衔接两个三角形△ABD与△ACD的关键.因为此时互补的两个角∠ADB与∠ADC的正弦值恰好相等.再分别在两个三角形△ABD与△ACD中用两次正弦定理，成功地将两个三角形的边衔接起来.

图3图4下面再看以中线为“公共边”的题型：课本P10习题1-1B：4.如图4，已知△ABC中，AB=43，AC=23，AD为BC边上的中线，且∠BAD=30°，求BC的长.

解△BDA中，BDsin30°=ABsin∠BDA，

△ACD中，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC，

又因为BD=DC，sin∠BDA=sin∠ADC，

所以AB·sin30°=AC·sin∠DAC.所以43×12=23·sin∠DAC，所以sin∠DAC=1，所以∠DAC=90°.△ABC中，∠BAC=120°，AB=43，AC=23，由余弦定理得BC=221.

本题的解法与上一题的解法类似，只需要注意CD=BD这个衔接条件.以上两题都是课本上的例题或习题，解法如出一辙，都是通过公共边去衔接两个三角形.显然这样的题型学生不能很快驾轻就熟，需要进一步的训练，因此，教材给出了课本P20自测与评估第5题：已知AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=3，∠A=60°，求AD的长；以及课本P20自测与评估第2题：在△ABC中b=4，c=3，BC边上的中线m=272，求∠A，a以及面积S；以及课本P20自测与评估第4题：在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°，试判断△ABC的形状.以上三道题，都围绕公共边展开，但解法各异，这里不再赘述.

图52.2高考中的考查

（2013年浙江高考理科16题）如图5，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点.若sin∠BAM=13，则sin∠BAC=.

解设BC=2a，AC=b，则Rt△AMC中AM=a2+b2，Rt△ABC中AB=4a2+b2，

sin∠ABM=sin∠ABC=ACAB=b4a2+b2，

法一在△ABM中，由正弦定理BMsin∠BAM=AMsin∠ABM，即a13=a2+b2b4a2+b2，解得2a2=b2，于是sin∠BAC=BCAB=2a4a2+b2=63.

法二△ABM中，由正弦定理BMsin∠BAM=ABsin∠AMB，又因为∠AMB=180°-∠AMC，所以sin∠AMB=sin∠AMC.所以BMsin∠BAM=ABsin∠AMC，而sin∠AMC=bAM=ba2+b2，所以a13=4a2+b2ba2+b2.解得2a2=b2，于是sin∠BAC=BCAB=2a4a2+b2=63.

对比以上两种解法，显然解法一根据高为公共边衔接两个三角形，而解法二根据中线为公共边衔接两个三角形.由该题的解法可以看到“有一条公共边的两个三角形”的问题即一分为二，又合二为一.而且不管是解法一还是解法二，都不仅要用到直角三角形中的边角关系，还要用到斜三角形中的边角关系.因此这道题是一道别具匠心的好题.

显然以上我们都在围绕“特殊”展开，公共边为高，中线，角平分线.那么我们下面再由特殊推广到一般，看看“公共边”并不是“特殊边”的情况.

3“公共边”并不是特殊边的两个斜三角形

3.1教材中的体现

在实际测量中根据实际条件，公共边并不一定是特殊的边，如课本在12应用举例问题2中，测量地面上两个不能到达的地方之间的距离——两海岛之间的距离.衔接两个斜三角形的公共边就是任意的一条边.这在高考试题中也有体现，图6如2009年宁夏海南理科试卷17题：为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图6），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

本题的模型完全来源于课本例题模型，仍是一道应用题，因为解三角形最终的归宿就是实际应用.该题对学生的要求较高，需要学生自主设计测量的方案，这也是对学生实际应用能力的考查，因此，看似简单学生不一定能驾驭.

3.2高考中的考查

（2010年陕西文数17题）如图7，在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.

图7解在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=100+36-1962×10×6=-12，所以∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB，AB=AD·sin∠ADBsinB=10sin60°sin45°=10×3222=56.

该题的解法与以中线、角平分线为公共边的各题的解法类似，仍是以∠ADB与∠ADC互补，去衔接两个三角形.该类考题频繁出现，下面一一陈述

如：（2011年福建理14）如图8，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于；

（2011年天津理6）如图9，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=CD，2AB=3BD，BC=2BD，则sinC的值为；

图8图9图10（2010年全国卷2理数17）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=513，cos∠ADC=35，求AD.

（2014年北京理数16）如图10，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=17.（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长.

为什么高考围绕该知识点频繁出题？数学来源于生活，又应用于生活，它最终的落脚点还是实际应用，下面请看以“有一条公共边的两个三角形”为载体的一道实际应用题：

某观测点C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的某人在B点处正沿此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD=21km，求此人在D处距A还有多少千米.

解如图11，在△BDC中，CD=21，BD=20，BC=31，由余弦定理得，cos∠BDC=-17，在△ADC中，cos∠ADC=cos（π-∠BDC）=17，sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin（60°+∠ADC）=5314，由正弦定理：ADsin∠ACD=CDsin∠CAD，得AD=15.

显然，以上问题，都是一些特殊情况，让我们把眼界放的更宽一些，我们可以看到更一般的实际应用：

图11图12如图12，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为（3-1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需要的时间.

图13解如图13，连接CB，CD.设缉私船在D处追赶上走私船，所用时间为t小时，则有CD=103t，BD=10t，在△ABC中，AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°.由余弦定理得：BC=6.又由正弦定理得∠ABC=45°.所以BC为东西方向，所以∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中，由正弦定理，可得sin∠BCD=BD·sin∠CBDCD=10t·sin120°103t=12.

所以∠BCD=30°=∠BDC，所以BD=BC=6.所以10t=6，所以t=610≈0.245（小时）=147（分钟）.

所以缉私船沿北偏东60°方向，约需147分钟才能追上走私船.

这是常见的追击问题，仍然是BC边衔接了两个三角形△ABC和△BCD，较上一例题问题更加一般化.

以上这些就是笔者在对《解三角形》（B版）进行教学与反思，同时结合高考考点与实际应用，发现的结论.我们可以看到，高考要考查的考点与课本所要传达的知识点是一脉相承的，课本上着重要传达的思想、解决问题的方法及对应的知识点就是高考中的考点，而不论是课本的知识点还是高考的考点，这些内容正是实际生活中解决问题所需要的知识点.

因此教师在教学中不但要做到高屋建瓴，更要做到回归基础、返璞归真.从教材中最基本的解决问题的方法入手，研究本章的主旨，并总结出通性通法，从而对本章的内容提纲挈领，把握要点，提高学习的效率.