张青霞

【摘 要】反证法既是数学学习中常用的方法，又是日常生活中人们分析问题的一种常见方法。它不仅在数学文化的殿堂里大放光芒，也在古今中外的历史中留下不少充满智慧哲理的故事。而且反证法的故事也是数学源于生活，用于生活的典例，所以反证法中的的魅力更蕴含着数学之美。现在就让我们在研究反证法的过程中体会数学之美。

【关键词】反证法;故事;假设;证明;结论

数学命题的证明分直接证法和间接证法两种。在间接证法中，最常见的是反证法。反证法历史悠久，在中外历史中都存在很多关于反证法的有趣的故事，人们在运用和了解反证法中都可以看到其中的魅力，其中的逻辑与推理中的美丽更是一种数学的魅力。让我们一起了解反证法，在了解反证法的过程中体会数学之美。

一、反证法的概念

反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

反证法是数学中常用的间接证明方法之一。反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。通常反证法是在待证命题正面难以入手而从待证命题的结论的反面入手进行正确推理，推出矛盾，从而得出原结论的反面不真，由此肯定原结论为真。假设命题的否定成立，即在“已知条件”和“命题的否定”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时，改证它的逆命题的证明方法叫反证法。

二、反证法步骤

1.反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立;

2.归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;

3.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

三、反证法的使用

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

反证法的主要使用方法就是先从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，然后通过合理有效的逻辑推理过程，使之得到与已知条件、公理、定理或者已经被证明为正确的命题等相矛盾，这时就可以说假设是错误的，从而利用排中律推出原命题成立。

四、数学中的反证法

1.证明：素数有无数个。

這个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid of Alexandria），生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

证：假设素数只有有限个，设为q1，q2，...qn，考虑p=q1q2...qn+1。显然，p不能被q1，q2，...qn整除。故存在两种情况：p为素数，或p有除q1，q2，...qn以外的其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个。

2.证明：两条直线如果有公共点，最多只有一个。

证：假设这两条直线a，b有两个公共点A，B，

那么A，B既在直线a上，也在直线b上，

因为过两点可确定一条直线，

所以直线a，直线b重合，这与题设矛盾。

因此假设不成立， 原命题正确。

五、生活中的反证法

故事一：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来。但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑。这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也被涂黑了。那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？

答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，不妨设甲已经认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没被涂黑，同时他又认为他的脸也没被涂黑。那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪。因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了。然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在取笑我。由此可知，我的脸也被涂黑了。”

这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否被涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析和思考，从而说明了自己的脸被涂黑了。简单地说，甲是通过说明是：“被涂黑了”的反面-----“没被涂黑”是错误的，从而觉察到自己的脸被涂黑了，这是一种间接的证明方法。显然这种证明方法应该是不可缺少的。

故事二：诸葛亮的“空城计”与反证法。

三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也。”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。

结论：诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，解决了用正面方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或无法解决的问题。

故事三：男方某风水先生看风水，恰逢天降大雪，乃做一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨;早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦做一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎;早知吃饭变成屎，何不当初就吃屎。”

实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点。假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可以，那么根据他的逻辑，即可得出风水先生当初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了，显然他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了。

六、结论

反证法不仅是一种解决问题的思路，更是蕴含一种独特的思维方式。在数学学习与日常生活的问题分析中反证法都可以发挥巨大的作用，而其中蕴含的独特的思维方式，更是能改变一个人的一生。反证法在数学、哲学、生活等方面都发挥着巨大的作用并散发着其独特的魅力。反证法独特的逻辑推理过程与思路体现着数学的独特魅力，值得我们用一生去追寻探索。

【参考文献】

[1]王连笑.《反证法漫谈》[M].天津：天津人民出版社，1981年.

[2]赵雄辉.《证明的方法》[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92

[3]徐加生，纪健.《浅谈用反证法证题的常见题型》[J].江苏：数学通报.2007，第46卷。