白明辉

1 分形理论

1.1 分形理论的形成

分形理论始于数学家本华· 曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在1973年提出的分形几何的设想。分形一词，原是不规则、支离破碎的意思，是对大自然分形事物的统一特征—自相似结构的理解认识，海岸线、山脉、云、闪电、树和多种蔬菜……小到基本粒子的运动，大到宇宙天体的演化。[1]

1.2 分形的特征

分形是一种复杂的思想，无法完整确切的定义，但却能由自身总结出的简洁的典型分形特征的思想集合来描述：“（1）具有任意小尺度下的比例细节，具有精细的结构；（2）不能用传统的几何语言描述，既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解；（3）具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或统计的自相似；（4）一般情况下，“分形维数”大于它相应的拓扑维数；（5）在大多数情况下，可以由非常简单的方法定义，以变换的迭代产生。”[2]

1.3 分形理论的原则

分形理论最重要的原则即为自相似和迭代生成原则。它表示分形在通常的几何变换下具有不变性，即我们所说的标度无关性。分形形体中的自相似既可以完全相同，也可以与原型相似。分形的迭代循环和重复变化可以生成丰富且无限精细的结构。这种有规则分形只是少数，绝大多数分形是统计意义上的无规则分形，即所谓的随机分形。

1.4 分形的分类方法

目前采用的较为典型的分形方法主要有四类：第一种是康托尔集。通过将每段线段三等分，去掉中间一段，通过依次、多次运用此法，迭代后的图形，得到一个无穷多点数离散点集。