郭佳浩，闫喜红

(太原师范学院 数学系，山西 晋中 030619)

0 引言

数据缺失下的低秩填充问题是近几年研究热点之一，在机器学习[1]、模式识别[2]、模型缩减[3]等科学工程领域有着重要的作用.一个矩阵填充问题如果没有约束条件，可以有无穷多解，事实上需要填充的矩阵一般具有低秩或者近似低秩的结构.对于低秩矩阵，就可以通过有效的算法准确合理地恢复出原矩阵.由于Fazel在近似低秩矩阵[4]和Candes与Recht在矩阵填充方面做的开拓性工作[5]，使得这一问题从理论和算法方面都得到了深入的研究[3，4，6-11].低秩矩阵填充最初是由Candes和Recht提出的，其目的是将仅部分元素已知的采样矩阵精确合理地填充成一个低秩矩阵.矩阵填充和低秩逼近技术依赖于低秩结构的元素之间的依赖关系.在已知矩阵部分元素的前提下，合理精确地寻找与已知项一致的最低秩矩阵，其数学模型可表示为:

(1)

其中Z0∈Rm×n是采样矩阵，Ω是已知样本元素下标集，PΩ是集合Ω上的正交投影.问题(1)是非凸的，直接求解非凸问题非常困难，因此很多学者用它的凸松弛模型取代(1)，其凸松弛核范数模型如下:

(2)

其中，‖Z‖*是矩阵Z的核范数.相关的理论已经证明，只要奇异向量与正则基之间存在弱相关性，就可以通过求解上述凸松弛问题(2)得到(1)的解[5].针对凸松弛模型(2)，有许多算法(如硬阈值算法、迭代阈值算法等)可以直接进行求解.但是这些算法的实现需要在每次迭代中计算部分奇异值分解(SVD).众所周知，计算奇异值……