艾海平 陈 力

(福州大学机械工程及自动化学院,福州 350116)

引言

近年来随着空间技术的发展及人类对太空探索的进一步深入,空间机器人被期望在太空服务中扮演更重要的角色并执行更复杂的任务:如失效航天器的维修、在轨燃料加注、在轨装配和后勤支援等[1-5],以实现延长在轨航天器服务寿命、提升在轨服务性能的目的,因此对其的研究引起了国内外学者的诸多关注[6-13].同时,因发射失败及在轨故障导致失效的航天器日益增多,进而影响了空间在轨服务任务的执行.考虑太空轨道资源的宝贵及失效卫星回收的经济价值,空间机器人对失效卫星的捕获操作研究具有重要意义[14-18].

空间机器人执行在轨捕获操作时,不可避免的要与目标卫星发生接触、碰撞,在此过程,其机械臂将会受到很大的碰撞冲击力矩[19-20],若冲击力矩过大,很可能对最薄弱的关节处造成破坏.考虑非合作卫星一般具备高速、旋转等特性,空间机器人对其进行捕获操作时,其遭受的冲击力矩将使关节处遭受损坏,并导致空间任务的失败.因此,在捕获操作过程采取一定措施以避免空间机器人的关节电机受到冲击而破坏是极其必要的.然而,目前关于空间机器人避免关节遭受冲击破坏的研究却鲜见报道,故对其的研究有着重要的探索价值和意义.

针对空间机器人在轨捕获操作的研究,国内外学者已经取得了一定的成果.Uyam 等[21]对空间机器人与自由漂浮卫星的接触效应进行了实验的评估.Rekleitis 等[22]研究了近距离捕获被动航天器的控制问题,设计了基于模型的控制算法.程靖等[19]研究了空间机器人捕获卫星过程动力学演化模拟,并设计了模糊H∞控制方案以实现不稳定系统的镇定.Meng 等[23]针对含柔性构件空间机器人自主捕获目标前的弹性振动抑制问题,基于动态耦合模型设计了一个闭环控制系统.Aghili 等[24]研究了空间机械臂捕获卫星的最优控制问题,实现了联合体系统的最小时间镇定.Dong 等[25]研究了卫星自主交会对接过程位置及姿态的控制问题.Lampariello 等[26]设计了一种基于非线性优化的方法,以实现有限时间内对翻滚目标的捕获.Stolfi 等[27]提出了一种基于PD控制的阻抗算法,以实现对非合作目标的捕获.值得一提的是,以上研究成果主要关注的是捕获前轨迹规划及捕获后组合体的镇定控制上,并未考虑减小空间机器人捕获卫星碰撞过程所受冲击力矩及实现镇定过程对关节电机的保护.

考虑到柔性机构—RSEA(rotary series elastic actuator)在机器人与外界环境发生碰撞时,在保护机器人关节执行器避免外部冲击破坏方面发挥了很好的作用[28-29].为此,本文尝试将RSEA 引入到空间机器人系统中,同时设计与之配合的开启、关闭电机策略以实现缓冲从顺控制.然而由于RSEA 装置存在缓冲弹簧,因此也为系统带来了关节柔性.此外,空间机器人自身各构件间存在着强耦合作用,捕获过程系统内部还会存在动量、动量矩及能量的传递变化.以上多重问题的综合使得空间机器人在轨捕获卫星的动力学与控制研究大为复杂.

对于高性能的空间机械臂来说,关节柔性是一个不可忽略的影响因素,为了实现存在关节柔性的空间机器人的缓冲从顺控制,本文基于奇异摄动思想,将空间机器人及被捕获卫星形成的联合体系统分解为表征柔性部分的快变子系统及表征刚性部分的慢变子系统.针对快变子系统,设计了速度差值反馈控制器以主动抑制系统的弹性振动.考虑星载计算机的运算能力有限,而捕获操作将导致液体燃料晃动而产生扰动项.鉴于自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)技术可对扰动项进行动态估计,并实时补偿[30-31].因此,对慢变子系统提出了一种基于动态面的自抗扰控制器.所提方法避免了反演法带来的计算膨胀问题,有效减少了星载计算机的计算量[32-33].同时,有效提升了不稳定联合体系统的抗扰动能力,并最终达到稳定控制及轨迹的精确跟踪.最后,通过对空间机器人捕获操作过程的仿真分析,表明了柔性机构的抗冲击性能及所提缓冲从顺控制策略的有效性.

1 柔性机构结构及缓冲从顺策略

配置柔性机构空间机器人系统的RSEA 装置安装在电机与机械臂之间,通过其输入圆盘与电机相连,机械臂则是与RSEA 装置的扫臂负载空心轴相连.空间机械臂总体结构简图如图1 所示,所设计RSEA 装置的结构如图2 所示.图2 中R为扫臂有效半径,r为弹簧的半径.

图1 空间机械臂结构图Fig.1 Structure of space manipulator

图2 RSEA 装置结构图Fig.2 Structure of RSEA

在捕获阶段,机械臂末端与目标卫星发生碰撞,其关节处会受到很大的冲击力矩,该力矩先作用在RSEA 装置的输出扫臂上,再传递到弹簧组,通过内部弹簧对碰撞能量进行吸收、缓冲,进而实现对关节的保护.在镇定运动阶段,受冲击效应的影响,电机开启时也会受到冲击力矩,若所受力矩超过电机所能承受的极限而不关停电机,电机将遭受损坏.因此,需要根据关节所能承受的力矩极限设置一个关机力矩阈值让电机关停.当检测到关节所受冲击力矩超过所设关机力矩阈值后电机关停,此时,RSEA 装置内部弹簧组会提供弹力以减小关节所受冲击力矩.此外,在实际操作中,若是只设定关机力矩阈值,将导致电机频繁开关机,进而影响电机性能.基于此,本文所提的从顺控制策略设置了两个力矩阈值,一个是电机关机力矩阈值,另一个是电机开机力矩阈值.当关节所受力矩超过关机力矩阈值时,电机关停,当关节所受力矩低于开机力矩阈值时,电机再次开机.

2 动力学建模及冲击效应分析

以配置RSEA 空间机器人捕获卫星操作过程为例,如图3 所示.建立系统惯性坐标系XOY,同时建立各分体的连体坐标系xiOiyi(i=0,1,2),其中O0为基座质心;Oi(i=1,2)为连接各关节的转动铰中心.设空间机器人系统基座B0质量、质心转动惯量及O0至O1长度分别为m0,I0,l0;机械臂质量、质心转动惯量及长度分别为mi,Ii,li(i=1,2);di为第i个关节转动铰中心到机械臂i质心的距离.被捕获卫星的质量、质心转动惯量为mt和It.两关节电机转子转动惯量为Iim(i=1,2);RSEA 装置中弹簧的刚度为kia(i=1,2).θ0,θi(i=1,2)和θt分别为基座姿态、机械臂、被捕获卫星转动角;θim(i=1,2)为电机转子转角.系统总质心及基座、机械臂质心在惯性坐标系下位置矢量分别为rc,r0,r1和r2.

图3 空间机器人系统及目标卫星系统Fig.3 Space robot and target satellite systems

将目标卫星视为均质刚体,定义qt=[xt,yt,θt]T为其广义坐标列向量,则可通过牛顿−欧拉法获得被捕获卫星系统的动力学方程

其中,Dt∈R3×3为被捕获卫星系统广义质量阵,xt和yt为被捕获卫星质心位置坐标;Jt∈R3×3为被捕获卫星碰撞接触点对应的运动Jacobian 矩阵,F′∈R3×1为被捕获卫星所受到的作用力.

根据图3 中几何位置关系,可得捕获前空间机器人各分体质心在惯性坐标系下的表达式为

其中,xa和ya为载体质心位置坐标;ei(i=0,1,2)为各连体坐标系xi方向的基矢量.

对式(2)、式(3)进行求导,可得到含柔性机构空间机器人系统总动能表达式为

其中,ωi(i=0,1,2)表示载体及两机械臂杆的角速度;ωjm(j=1,2)表示电机转子的角速度.

忽略太空微弱重力影响,可知空间机器人系统势能只来源于RSEA 装置,因而其总势能为

其中,kia(i=1,2)为关节等效刚度,其计算公式于仿真处给出;∆xiL=Rsin(αi),∆xiR=−Rsin(αi);αi为输入圆盘与扫臂之间的角度差.

基于上述动能、势能表达式,可得到Lagrange 函数,结合第二类拉格朗日建模方法,推导得捕获碰撞前载体位置不受控、姿态受控的空间机器人动力学方程为

其中,q=[xa,ya,θ0,θ1,θ2]T为空间机器人系统广义坐标;θm=[θ1m,θ2m]T,θ=[θ1,θ2]T;D(q)∈R5×5表示系统广义质量阵,为系统包含科氏力、离心力项;,τa=02×1,τ0为载体姿态控制力矩,τθ为关节输入力矩,τm=[τ1m,τ2m]T为电机输出力矩;Jm=diag(I1m,I2m)为电机转子转动惯量;Km=diag(k1m,k2m);J∈R3×5为机械臂末端对应的运动Jacobian 矩阵;F∈R3×1为机械臂末端所受作用力.

在捕获操作过程,空间机器人与被捕获卫星两者发生接触、碰撞,其相互作用力满足牛顿第三定律,即:F=−F′.基于此并结合式(1)、式(6),可得

由于捕获过程空间机器人与目标卫星形成的系统未受外力作用,所以整个系统服从动量守恒关系;此外,为保护关节电机,捕获阶段电机将处于关机状态,即τc=05×1,因此,对式(7)两端进行积分并整理得[19]

捕获完成后,空间机器人与目标卫星形成联合体系统,两者末端接触点满足速度约束,即自t0+∆t时刻恒有

结合式(8)、式(9),可得碰撞冲击对空间机器人运动状态的影响

通过对式(6)第一项进行积分,可得捕获阶段的碰撞冲量

其中,P=为碰撞冲量.结合式(10)、式(11),可计算得碰撞冲量表达式为

其中,(JT)+1为JT的伪逆.由于捕获碰撞时间∆t极小,则碰撞力可以近似为

捕获操作完成后,空间机器人与被捕获卫星两者形成联合体系统,因此其末端满足式(9)的速度约束,对式(9)进行求导,并整理化简得

结合式(6)、式(7)、式(14),可得联合体系统的综合系统动力学方程为

考虑空间机器人系统在轨服务寿命等原因,载体位置处于不受控的状态.基于此,式(15)表现为欠驱动形式,其不利于控制的设计.为将式(15)化为全驱动形式,将其写成如下分块子矩阵形式

其中,qa=[xa,ya]T,qθ=[θ0,θ1,θ2]T;τb=.通过观察发现HC11和HC21均为零矩阵,基于此由式(16)第一行可解得的表达式,并代入第二行,可得到联合体系统全驱动形式动力学方程

3 控制器设计

3.1 快变子系统控制器设计

由于联合体系统存在RSEA 装置,其使得系统关节具备柔性,为了抑制关节柔性引起的振动,借助奇异摄动技术,将联合体系统分解为快变子系统和慢变子系统分别进行控制设计,因此系统的总控制律可写为如下形式

其中,τs∈R2×1为慢变子系统控制力矩,τf∈R2×1为快变子系统控制力矩.

定义正比例因子ε 及正定对角矩阵K1,并令其满足如下关系

结合式(19),则式(17)的后两项可重写为描写系统弹性振动的快变子系统方程

设计如下速度差值反馈控制器对快变子系统进行控制

其中,Kf=K2/ε,K2∈R2×2为正定、对角矩阵.

将式(18)、式(21)代入式(20),可得

当ε →0 时,关节等效刚度K→∞,此时联合体系统等效为刚性模型;则由式(17)、式(18)可得出慢变子系统的动力学方程

其中,DSθ=DX+JX,HSθ为时对应的新矩阵;JX=diag(0,I1m,I2m),τSθ=.

3.2 慢变子系统控制器设计

考虑捕获操作将导致控制载体姿态的液体燃料晃动,进而产生有界扰动项,则慢变子系统动力学方程式(23)可写为

其中,τd∈R3×1为扰动项.

为便于分析,令x1=qθ,x2=,则式(24)可表示为如下形式状态方程

考虑星载计算机的运算能力有限,借助动态面技术简化运算过程.慢变子系统动态面控制设计步骤如下.

(1)定义轨迹跟踪误差,即第一个误差面

其中,qθd∈R3×1为系统轨迹期望矢量.

对式(26)两边进行求导,可整理得

定义虚拟控制量,其满足

其中,η1为正常数.

其中,时间η2>0.

(2)为设计慢变子系统控制律,定义第二个误差面

对s2两边进行求导,并结合式(25),可得

考虑有界扰动项将影响镇定运动的稳定性及轨迹跟踪精度,因此采用扩张状态观测器对其进行动态估计,扩张状态观测器设计如下

其中,λ>0 为观测器带宽.

在上述基础上,慢变子系统控制律设计如下

其中,c2为正定、对角矩阵.

定义状态变量ωi=,ω=.由式(25)、式(32),可得

其中,Kv=.

定理1若是有界的,任意选取观测器带宽λ >0,观测误差服从一致有界性,即:满足存在常数γi>0,使得中所有元素在有限时间内满足≤γi(j=1,2,3).

证明假设观测器误差初始为零,对式(35)进行求解,可得

参考文献[35] 相关推导可知,若Kv是Hurwitz的,则存在时间ts,在t≥ts的任意时刻,满足如下关系

因此,ω(t)中各个元素满足如下关系

结合ωi=可得

综合以上分析,可证明扩张状态观测器的观测误差服从一致有界性.证毕.

定理2对于式(25)所示的慢变子系统,基于所设计控制器(34),可保证联合体系统半全局最终一致有界.

证明结合所设计动态面,定义系统边界层误差如下

结合式(29)及式(41),可得

由此可解得z2的一阶导数

联立式(27)～式(30)及式(42),有

定义如下Lyapunov 函数

对式(45)进行求导,可得

将式(34)代入式(31)中,得到

根据式(43)、式(44)、式(47),将其代入式(46)可有

利用Young 不等式得

进而,式(48)满足

参考文献[36] 可知,||Φ||≤ψ,(ψ >0),选取1/η2≥1/2+ψ2/(2k)+a0,可得到

其中ς=min{2(η1−1),2(c2−1),2a0},ρ=+k/2.

通过对ς 适当选取,使其满足ς >ρ/ϕ,则当V=ϕ 时,≤0 是一个不变集,即存在V(0)≤ϕ,则对t>0 时,恒有V(t)≤ϕ.

求解式(50)可得

基于上述条件,并结合Lyapunov 稳定性定理,可知该系统以ρ/ς 为界,联合体系统半全局最终一致有界.因此,联合体系统轨迹跟踪误差e可收敛到零的任意小邻域.证毕.

4 仿真算例分析

4.1 捕获碰撞过程RSEA 抗冲击性能模拟

采用图3 所示的空间机器人及目标卫星系统进行数值仿真试验.模型参数选取如下:m0=80 kg,I0=40 kg·m2,l0=1 m;mi=5 kg,Ii=3 kg·m2,li=2 m,di=1 m(i=1,2);mt=30 kg,It=15 kg·m2,lt=0.5 m;I1m=I2m=0.05 kg·m2,k1a=k2a=1000 N/m.关节等效刚度的计算公式[28]为

其中,Ka=diag(k1a,k2a),R=0.1 m,r=0.01 m,φ为机械臂末端施加τF=[20 Nm,20 Nm,0 Nm]T的载荷时扫臂的转角,仿真时选取φ=diag(3◦,2◦).

为了验证空间机器人碰撞过程的抗冲击性能,采用配置/未配置RSEA 装置空间机器人系统对不同初速度卫星进行捕获模拟试验,选取空间机器人系统的初始构型为q=[0,0,90◦,45◦,45◦]T,碰撞所受冲击力矩结果如表1 所示.表1 中,第二及第三列前、后项分别为未配置与配置RSEA 装置关节所受冲击力矩;第四列为冲击力矩最大降低百分比.

表1 卫星不同初速度下RSEA 的抗冲击性能模拟Table 1 RSEA impact resistance at different satellite initial velocities

由表1 可看出,针对捕获不同初速度卫星的操作过程,配置RSEA 装置较未配置RSEA 装置都能有效的减小空间机器人关节所受碰撞冲击力矩,进而实现了对关节的保护.

4.2 镇定运动过程缓冲从顺控制策略性能模拟

为验证镇定运动过程缓冲从顺控制策略的有效性,运用本文第三部分所提控制方案对图3 所示系统进行数值仿真试验.所提控制方案的控制参数选取如下:K2=diag(5,5),c2=diag(5,5,5),ε=0.5,α1=diag(9,9,9),α2=diag(27,27,27),α3=diag(27,27,27).由捕获产生的扰动项为τd=[2 sin(πt/3)−2 cos(πt/3),2 sin(πt/3),2 cos(πt/3)]T.假设在t0=0 时空间机器人对卫星进行捕获操作,此时卫星速度为vt=[0.1 m/s,0.1 m/s,0.35 rad/s]T.捕获完成后空间机器人与目标卫星形成的联合体系统期望位置选取为qθd=[100◦,30◦,60◦]T.仿真时间选取为t=20 s.仿真结果如图4～图8 所示.

图4 未采用开、关机策略关节所受冲击力矩Fig.4 Joint impact torque without switching strategy

图5 采用开、关机策略关节所受冲击力矩Fig.5 Joint impact torque with switching strategy

图6 关节电机开、关机信号Fig.6 Switch signal of joint motor

图4 为未开启主动开、关电机策略时,关节所受冲击力矩.假设关节电机正常工作时,所能承受的冲击力矩极限为80 N·m.可发现此时的冲击力矩虽然较未配置柔性机构得到降低,但依然超出安全阈值.因此需结合开、关机策略进行控制,以实现对关节电机的保护;选取电机关机阈值为τO=48 N·m,开机阈值为τI=9 N·m.图5 及图6 分别为开启所提开、关机策略时,关节所受冲击力矩及关节电机开关机情况.对比图4 与图5 可知,结合缓冲从顺控制,可使得关节所受冲击力矩限制在安全范围内,有效实现了对关节电机的保护.

图7 开启缓冲从顺控制时镇定运动轨迹Fig.7 Trajectory tracking of stabilization under buffer and compliant control

图7 为采用上述缓冲从顺控制时的镇定轨迹.其中,实线为结合自抗扰补偿的动态面控制方法时的镇定轨迹,虚线为关闭自抗扰补偿项时的镇定轨迹.通过两种方法对比可知,所提基于动态面的自抗扰控制方法可有效实现对扰动项的补偿,并更快实现了对受扰动联合体系统的镇定控制,有效提升了失稳联合体系统抗扰动的能力.

图8 为关闭其快变子系统速度差值反馈控制器时,所得的跟踪轨迹情况;比较图7 与图8 可知,所提速度差值反馈控制器,可实现对系统关节弹性振动的主动抑制,进而达到轨迹的精确跟踪.

图8 关闭快变控制器轨迹Fig.8 Trajectory without fast controller

5 结论

考虑空间机器人捕获操作过程,其机械臂关节处将会受到巨大的碰撞冲击力矩的影响.为了避免该冲击力矩对关节电机造成破坏,本文设计了一种含RSEA 装置的空间机器人,并提出了一种与之配合的适时开、关机控制策略.通过数值仿真可知,所提方案在捕获接触、碰撞阶段,最大可减小63.2%关节所受碰撞冲击力矩,最小也能减小49.9%,体现了良好的抗冲击性能.在镇定运动阶段,借助奇异摄动技术,实现了对系统弹性振动的主动抑制,并保证了关机所受冲击力矩限定在安全范围内,从而避免了关节电机的过载、破坏.此外,所提基于动态面的自抗扰控制方案不仅简化了计算过程;同时,还提高了系统的抗扰动性能,保证了镇定运动的精确性和稳定性.