田博宇 孙 博 窦艳伟

（中国石油工程建设有限公司北京设计分公司，北京 100085）

柱或梁柱的设计通常都是从柱两端弹性转动阻力（GA，GB）的计算开始，由计算得到有效长度系数K。无侧移框架体系和有侧移框架体系的数学精确方程是由Barakat和Chen提出的，该方法需要大量的计算来求解方程，且该方法适用于繁琐复杂的柱与梁柱结构体系。

1 精确方程和近似方程的研究背景

考虑一个两端弹性约束的柱AB，用GA表示A端的转动约束因子，GA表示在A点处连接的所有柱与所有梁的相对刚度的比值：

在欧洲规范中，使用了另外两个因素βA和βB来取代GA和GB。β的定义与G的定义不同，公式如下：

β与G之间的数学关系如下：

欧洲规范中用β而不用G，当连接方式为铰接时，取β=0，当连接方式为刚接时，取β=1。

1.1 无侧移框架体系

无侧移框架体系是有效防止发生侧移的框架体系，如图1中的a，有效长度系数K不大于1.0。无侧移框架柱的计算长度系数表的得出是下述数学方程的解的集合：

对于上述方程，只能用数值方法进行求解，法国规范中给出的近似解如下：

1.2 有侧移框架体系

如果刚性框架仅依靠框架的作用来抵抗侧向力，则允许其位移的产生，如图1中的b。在这种情况下，有效长度系数K不小于1.0。有侧移框架柱的计算长度系数表的得出是下述数学方程的解的集合：

图1 无侧移框架体系和有侧移框架体系

上述方程虽然比方程（4）简单，但是也同样不能用封闭形式求解。法国规范中建议的近似解形式如下：

2 理论公式

首先，通过对无侧移框架体系和有侧移框架体系的数值分析，确定了柱端转动阻力（GA，GB）不同实测值对应的有效长度系数K。将这些三维中的表示有效长度系数的点绘制到一个二维平面中，然后，将这些曲线中系数K与公式（5）和（7）中的K值对应的解进行比较，选择并进行调整最小标准差得到最佳公式。

图2 有效长度系数（K）与无侧移框架体系柱端约束阻力的关系曲线

图3 有效长度系数（K）与有侧移框架体系柱端约束阻力的关系曲线

利用计算机软件对上述提出的公式进行基于最小二乘法的多元回归分析，可以拟合出标准误差小且简单于法国规范中给出的公式。

对于无侧移框架体系，得到的有效长度系数K的计算公式如下：

其中：0≤GA≤100，0≤GB≤100

对于有侧移框架体系，为了得到更为准确的结果，根据柱端转动阻力的范围，得到了有效长度系数的两个方程如下：

其中：0≤GA≤10，0≤GB≤10

其中：10＜GA≤100或10＜GB≤100

3 精确公式的精确性

我们可以将所得公式给出的结果与通过解相应的方程得到的结果进行比较，很容易得到相应的精确性比较。首先我们可以看一下法国规范中关于有效计算长度系数的图表和公式，图表中的精确性主要取决于数据量的多少，在数据量稍小的图表中，精度偏差大约为5%；另一方面，法国规范中提到无侧移框架体系中的公式（5）的精度偏差为0.5%，而有侧移框架体系中的公式（7）的精度偏差为1.5%。依据目前的回归分析中所有点的误差百分比（取无侧移框架体系和有侧移框架体系均为300个点）表明：本文通过线性回归得到的公式对于无侧移框架体系公式（8）的精度偏差在0.5%以内，对于有侧移框架体系公式（9）和（10）的精度偏差在1%以内。

4 结果对比

表1和表2分别表示无侧移框架体系和有侧移框架体系由公式（8） ～（10）计算得出的K值与法国规范中理论公式（5）和（7）得到的K值结果进行对比，如下表1和表2：

表1 无侧移框架体系公式（8）K值与公式（5）K值的对比

表2 有侧移框架体系公式（9）（10）K值与公式（7）K值的对比

通过表1和表2可以清楚看到，虽然公式 （8） ～（10）很简单，但是与法国规范中的公式（5）和（7）相对比可以发现，公式（8） ～（10）的结果更准确，更接近于精确值，偏差更小，同样，精确公式的得出也更方便于工程师日后的计算工作。

5 结语

本文通过对法国规范中有效长度计算系数公式的精确解进行多元回归分析，研究确定了简单准确的钢结构柱的有效长度系数K的计算公式。其中GA和GB范围为0～100之间。