李江华

[摘 要]在数学教学中渗透数学文化，有利于培养学生的核心素养.在《平均变化率》教学中，教师以数学文化为主线，以课堂探究为方法，以问题设计为引领，有效开展数学教学活动，很好地培养了学生的核心素养.

[关键词]教学文化;核心素养;平均变化率

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）20-0009-04

《中国学生发展核心素养》中明确了教育改革的行动纲领和终极目标是培养全面发展的人. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称《课标方案（2017年版）》）要求实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，重视数学实践和数学文化. 《课标方案（2017年版）》强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透;不断引导学生感悟数学的应用价值和文化价值，多次提出要将数学文化融入课程内容.  要通过数学文化的渗透，让学生樹立正确的人生观、价值观和世界观，以达到“立德树人”的效果.  教育部考试中心也提出了渗透数学文化的数学命题要求，要求通过多种渠道渗透数学文化，如有的试题将通过数学史展示数学文化的民族性与世界性. 《课程方案（2017年版）》中明确提出，数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展，包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义以及与数学相关的人文活动. 这就要求教师在平时的教学中要有意识地渗透数学文化，通过数学文化的渗透促进学生的发展. 基于这样的背景，笔者在区优质课评比教学中做了一些尝试，收到不错的效果.

一、教学过程

1. 文化之旅

师：从今天开始，我们将学习选修2-2第一章《导数及其应用》，同学们有没有听说过导数？

师：看来大家对导数完全不了解，不过没关系，我们很多熟悉的老朋友一直很关心它，为了它的发展，耗费了大量的精力.

师：请大家和我一起来一次文化的穿越之旅.我们先来看公元前200多年，古希腊的科学泰斗阿基米德用积分的观点求出了球的体积. 他用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球的体积. 我们再把目光转向公元5世纪的东方，我国南北朝时期出了祖冲之、祖暅两位伟大的数学家，他们提出了“幂势既同，则积不容异”的祖暅原理，这是积分概念的雏形. 微分观念的发生比积分大概迟了2000年，公元16世纪的意大利，伽利略发现了自由落体的运动规律，提出了瞬时速度，这是导数的启蒙. 到了17世纪，西方出了两个天才，一个是百科全书式的全才——牛顿，一个是历史上少见的通才——莱布尼兹. 在总结了许多数学家的经验之后，牛顿从运动变化的观点考虑问题，莱布尼兹从几何学的角度考虑问题，分别独立建立了微积分学，他们对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理. 对于微积分学，恩格斯做出这样的评价：只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动.

师：微积分学不仅在数学中占有重要的地位，还为其他学科的发展提供了强有力的工具. 那么导数究竟是什么呢？它有哪些应用呢？在接下来的一段时间内我们将逐步揭开它的神秘面纱.

设计意图：通过微积分的发展史进行数学文化的渗透，既让学生了解了微积分的产生过程，又学习了数学家的优秀品质.牛顿和莱布尼兹的故事教会学生要善于独立思考.

2. 情境引入

师：这个世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼. 同学们，最近你能感受到的最大变化是什么？

生：天气突然变冷了.

师：很好.12月3号苏州市最高温是20 ℃，12月8号苏州市的最高温只有4 ℃，用天气预报员的话说，就是进入了“速冻”模式. 苏州市2004年4月18号最高气温是18.6 ℃，4月20号的最高气温是33.4 ℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8 ℃，闷热中的人们无不感叹“天气热得太快了”.但是如果我们把3月18 号的最高气温3.5 ℃与4月18号的最高气温作比较，会发现它们的温差为15.1 ℃，甚至超过了14.8 ℃，而人们都没有发出上述感叹，这是为什么呢？

生：前者变化太快，后者变化太慢.

师：在生活中，你怎么表达这个变化快和慢的？

生：用平均变化值表示.

设计意图：通过学生身边的例子，很容易把学生引入到情境中来，激发学生的学习兴趣. 用生活的语言表达变化快慢，体现数学源于生活.

师：不难看出，虽然气温相差不大，但是平均变化值却相差很大，这也说明只看温差是不行的，还要看这个时间段的长短. 大家再看这张表（表1），如果我们把3月18号看成第一天，用1来代替，相应的后面两个日期换成数字32，34，从数学的角度看，它是什么数学模型？

生：函数.

设计意图：实现数学建模，抽象出学生熟悉的数学模型.

师：很好.说到函数，我们离不开图像，这张表所对应的函数图像是孤立的三个点.为了研究的方便，我们把这段时间的最高气温曲线图（如图1）绘制出来，让它成为一个连续的函数.

问题1：从A到B的气温增加了多少？从B到C的气温增加了多少？

问题2：从A到B这一段与从B到C这一段你感觉哪一段气温变化得较快？

师：从图像上我们能直观地感觉到从B到C气温陡增，那么从A到D与从E到F你能感觉到哪一段气温变化得较快吗？

设计意图：从图像上很难判断变化快慢，进而引入数形结合思想——数缺形时少直观，形缺数时难入微，为量化陡峭程度、抽象出数学模型做好铺垫.

问题3： [TC-TB]的大小能否作为量化BC的陡峭程度的量？

问题4：还必须考察什么量？（考察[tC-tB]）

问题5：曲线上BC这一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？

师：联想到斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值[TC-TBtC-tB]来近似地量化BC这一段曲线的陡峭程度，并称这个比值为气温在区间[32， 34]上的平均变化率.

设计意图：建模的过程中抓住关键点——区间，同时隐藏着以直代曲的数学思想，通过渗透全新的数学思想来渗透文化.

师：我们如何用数学语言刻画平均变化率？

教师用几何画板动态演示过程（如图6）：我们发现随着点B越来越接近点A，这个线段AB与曲线AB越来越贴近，这个时候平均变化率也越来越精确地表达曲线的陡峭程度. 这个时候平均变化率越来越接近2.

设计意图：通过动态演示，从形到数，让学生感觉当区间逐渐变小时平均变化率越来越逼近“精确”.

5. 文化渗透

師：这里隐藏着“以直代曲”和“无限逼近”的极限思想.说到这两种思想，不得不提及中国古典数学理论的奠基人之一——刘徽，他是公元3世纪世界上最杰出的数学家，撰写有《九章算术注》和《海岛算经》，他的“割圆术”是人类历史上第一次将“以直代曲”和“无限逼近”的极限思想引入数学，这也是他对世界数学做出的最突出贡献. 很可惜的是，他只做了这样的实验，从内接正六边形开始，每次边数倍增，一直到内接3072边形，得到了实验数据，但他没有严密的逻辑推理，让人类得到圆周率的时间推迟了200多年，所以我们在平时的学习解题中，不能光有答案，要注意严密的逻辑推理过程，要知其然还要知其所以然.

设计意图：渗透数学文化——数学史，通过中国古代数学家的故事，培养学生的民族自豪感，增强学生的文化自信. 同时通过数学家的故事，让学生在平时的学习中重视逻辑推理.

师：我们通过前面的学习以及刚才的演示，应该很容易感受到：平均变化率体现变化的结果，并没有体现变化的过程.  如何让平均变化率也关注过程呢？当年伽利略在这个问题上研究了好长时间，究竟怎么体现过程呢？我们将在下节课继续研究.

6. 课堂小结

（1）今天同学们学到哪些新知识？

（2）本节课你体会到了哪些数学思想？

（3）本节课你体会到了哪些数学应用？

（4）本节课你感受到了哪些数学史？

二、教学反思

1. 以数学文化为主线，激发学生数学思维

课堂是学生学习数学知识的主要途径，对数学文化的学习，应更多地体现在课堂教学之中.张奠宙先生认为“数学文化必须走进课堂”.  数学的文化内涵往往以潜移默化的形式存在，只有教师有意识地将文化观念渗透于数学课堂教学之中，才能让学生感悟这种“看不见的文化”.  在课堂中合理地融入数学文化，不仅可以增加数学课堂的趣味性，更能引发学生的主动思考，激发其数学思维，这样才能将外在的数学活动转化为内在的思维活动.  这就要求教师在课堂中有意识地加入数学文化元素，让学生清楚知识的来龙去脉，能更主动地参与知识的发生发展过程.  在历史的发展中理解数学知识，这样的学习才是有基础、有源头的，才可以在循序渐进中激发学生的数学思维.  本节课的教学设计，以数学文化为开端和结尾，形成一条主线将知识串成了有序的知识链，引导学生一步步在数学史中穿越而来，感受到了数学的魅力，激发了数学思维.

2. 以课堂探究为方法，培养学生核心素养

数学核心素养如何形成？不是依赖记忆与模仿，而是在探究实践中形成的思维与方法，这是一个日积月累、不断积累的过程.  因此在教学设计中，教师要注重学生的探究实践，精心预设问题，启发学生既要关注探究过程，重视探究的过程，要给学生留时间思考，更要借助工具让学生容易理解.  这节课教师借助图像，借助几何画板，借助生活实例，使数学教学从以知识为本走向以素养为本. 在探究实践中，学生不仅获得了知识与技能，更重要的是积累了数学活动经验，培养了数学核心素养.

3.  以问题设计为引领，促进学生深层思考

在教学活动中，随着问题的展开、推进，适时地对学生进行启发与点拨，对问题进行层层分解、层层递进，不仅有利于学生解决问题，更能及时捕捉学生的思维亮点，促进学生进行深入钻研.  “凡事预则立，不预则废.”好的策划才能出好戏，教学中更是如此.   在课堂教学中很多“亮点”都是预设的.  当然“亮点”的创设来源于独到的教学见解，新颖的活动体验，生动的教学方法.  本节课，教师按照学生的思维发展层次，以递进式的问题和连续不断的追问，分阶段让学生获得知识、技能和经验，逐步将学生引入更深层的思考.  一个个问题的提出、探究、解决，使教学过程不再是简单的知识传授，而更多的是培养学生的问题意识和思维能力.

[   参   考   文   献   ]

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]  史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

（责任编辑 黄桂坚）