王晓佼，杨婉婷，贺海浪，王伟伟

(1.安徽外国语学院 公共基础课教学部,安徽 合肥 231201;2.安徽建筑大学 环境与能源工程学院,安徽 合肥 230031)

0 问题提出

CT扫描可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统(图1)，平行射入的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成1个接收点，且等距排列[1-3]。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。在正方形托盘上放置2个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。

图1 CT系统 图2 模板(mm)

1 数学建模变量与符号说明

为了方便叙述数学模型，列举了下文中要用到的符号(表1)。

表1 符号及说明

2 数学模型的建立与求解

2.1 CT系统旋转中心的确定

获取投影进行CT重建的方式为探测系统旋转，即标定模板在方形托盘上静止不动，具有512个等距单元探测器绕周测量标定模板待X射线检测吸收衰减后的能量。由于该测量定点旋转不能恰好通过标定模板质心，在测量标准均匀固体介质组成的标定模板时得到不均匀数据[4-8]，CT系统对其标定模板进行180组测量，并将可得数据进行增益。将横512和竖180的数值矩阵进行数据处理转化成灰度(图3)。

由图3可知亮白处①为标定模板衰减了部分射线能量，亮白处对应的X射线衰减的能量越多X射线透过的标定模板越厚。

图3 数值矩阵灰度

图3中每一竖灰白带②对应的即是每次测量收集的透过标定模板的厚度分布，灰度图宽度为积累的测量组数。

X射线平行照向标板，根据平行光束原理，可得图3中亮白色带半径为4 cm平面模板在探测器180次测量所得的光线分布情况。

图3中亮白最为集中处即为衰减最严重处，平行于椭圆模板长轴(即入射角度为零度)。

图3中竖直灰色带最大处为X射线平行于椭圆模板半轴。

根据几何图形公式，可得

s=xcosθ+ysinθ
t=-xsinθ+ycosθ
x=scosθ-tsinθ
y=ssinθ+tcosθ

根据雅可比式，则积分变量可得公式

示例如图4所示

图4 反投影

从光线起始度为零的测量开始分析，每隔10°取其测量数据，并用MATLAB进行可视化[9-13]，构建出的图像如图5所示(横坐标单格100 mm，竖坐标单格10 mm)。

图5 可视化原理

由于典型二维CT系统绕旋转中心点旋转，其测量数据可以间接表露出物体质点的偏移，CT系统绕中心点逆时针旋转β°相当于模板绕中心点对“固定”CT系统顺时针旋转β°，如图6所示，图中上面框格为光线探测器。

图6 二维CT中心旋转

根据每10°测量所得数据可视化图中质点比较，可得每10°的旋转量导致的模板质点对应点的偏离量，则有(d为CT系统单元间隙，n为偏移10°后质点的偏移格数)将图5中10°、20°、30°与0°数据代入上述公式，用LINGO得到解见表2～3。

表2 α与θ数值

表3 αcosθ与αcosθ数值

将数据平均取值即得所求旋转中心对于椭圆的相对位置为(-10.226 8，4.978 2)，如图7所示。

图7 旋转中心坐标 图8 CT系统投影

2.2 求解探测器单元之间的距离问题

由X射线在CT系统投影定点旋转可知，关于质点中心对称且介质均匀的模板在均角度测量后所得其分布为三角函数[14-15]，CT系统投影如图8所示。

可视化亮带处疑为三角函数，然而数据量不足以体现，故将原数据循环化，形成图9。

图9 数据循环灰度值

根据平行光束照射成像原理可知探测器显示数值处即为光线透射模板处，则提取出亮白光带并求均匀带宽为28.7个单元，将100 mm正方模板均匀分为256 256的矩阵方格，故每一方格中平均有2条光线，且为等距不变平行光束，故不一定每次都能相切，则近似求解每个单元间距为

2.3 求解探测器旋转方向问题

模型假设平行于椭圆长轴为起始0°，将横坐标拟合，测量总偏转为179.6°，近似于均角速度转动[16-20]。

将所有竖直灰度带进行中端个数比较，由平行光束易知中端个数最多处为0°线所在处，即两横坐标151°处时。

用MATLAB画出测量开始并转动后所对应的角度(图10)，即图中横坐标为CT系统使用X射线的180个度数。图中0°、-90°两条白线分别为光线平行于椭圆模板长半轴和平行于椭圆模板短半轴的两组，为180次测量中的151°和61°两次测量数据，故开始方向为-151°，其后X射线方向在此基础上以步长为1°每次进行偏转。

图10 入射光线方向

3 结论与讨论

第一代CT应用平行射线具有采样速度慢、采样点多、射线利用率低等缺点，因此出现了锥形、扇形束射线的投影重建方法。对于扇形束射线的投影重建，分为两种：一种是直接重建，该方法是将投影数据选取适当的权值进行加权平均后得到类似于平行射线的算法；另一种是对扇形数重排后重建，该方法对所有的投影束进行重新组合，形成不同角度下的平行射线投影数据。无论是上述哪种方法，最终都要用到平行射线投影重建模型。对于等间距的接收器排列或等角的接收器排列，也都可以通过一定的计算方法近似转化为平行射线投影。