◇ 湖北 陈雄飞

分析历年的高考数学试卷，我们可以发现，不论是全国卷Ⅰ、全国卷Ⅱ还是各省的高考数学试卷，基本上每年都会有数学证明题，而且都是以大题的形式出现，分值为10～12分，证明题已经成为高考必考题型之一，占有很大的比例.所以，做好证明题也是取得高分的前提条件.观察往年的高考试卷，我们可以看出，证明题是千变万化的，有时候是证明理论，有时候是证明公式，有时候是证明规律，等等.证明题题型太过繁杂，复习时无从下手，只能加强基础知识的巩固和掌握，才能更好地应对多变的题型.当然，我们的解题方法也十分重要，好的解题方法有时候能带来极大的便利.在做证明题的过程中，反证法被越来越多的人使用，大大提高了高考数学证明题的得分率.本文主要从反证法的概念与运用方法、反证法实例分析和反证法的实际意义三个方面来阐述高中数学中的反证法.

1 反证法的概念与运用方法

1.1 反证法的概念

反证法，顾名思义，就是从待证结论的反面入手，反向证明命题的正确性.常规方法做证明题的时候就是正向一步步地分析总结，从而得到最后的结果，以此来判断这个命题是否准确.

1.2 反证法的运用方法

掌握了反证法的概念，并不代表会运用反证法去解答证明题，所以，学会反证法的运用也至关重要.在运用反证法完整解答证明题的时候，首先，需要假设原命题不成立，然后进行推理.因为我们所使用的是反证法，所以我们的推理也得反向来.我们需要根据假设推理出矛盾的结果，从而说明我们的假设是错误的.这个过程我们通常用的是特殊值法，即找到一个特殊值代入我们假设的命题中去，从而使假设的命题不成立.因为反证法假设出来的命题和原命题是相反的，所以就能得到原命题是正确的结论了.

2 反证法实例分析

例1已知：m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，mnz＞0.求证：m＞0，n＞0，z＞0.

证明（1）用常规方法.

仔细观察题目我们可以发现，通过mnz＞0，我们可以知道m，n，z 中至少有一个未知量大于零，所以只能假定其中一个未知量大于0，其他两个要么同为负，要么同为正，又因为m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，那么需要知道的就是m，n，z 之间的大小关系.所以只能假设这三个未知量的大小关系，然后代入题目中进行验算，从而得到正确的结论，其中需要考虑的情况特别多.

（2）用反证法.

假设m，n，z 不都是正数，由mnz＞0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，设m＜0，n＜0，z＞0，由m+n+z＞0，可得z＞-（m+n）.

又因为m+n＜0，所以z（m+n）＜-（m+n）·（m+n），mn+z（m+n）＜-（m+n）（m+n）+mn，即mn+nz+mz＜-m2-mn-n2.

因为m2＞0，mn＞0，n2＞0，所以-m2-mnz2=-（m2+mn+n2）＜0，即mn+nz+mz＜0.

这与已知mn+nz+mz＞0矛盾，所以假设不成立，因此m＞0，n＞0，z＞0成立.

例2已知o，p，q∈（0，1）.求证：（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不能同 时大于

证明假设（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 都大 于.因为o，p，q 都是小于1的正数，所以1-o，1-p，1-q 都 是 正 数，（1-o）+

同理（1-p）+q＞1，（1-q）+o＞1.

三式相加，得（1-o）+p+（1-p）+q+（1-q）+o＞3，即3＞3，矛盾.

综上，（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不 能 都 大于

例3用反证法证明：若a，b，c∈R，且x=a2-2b+1，y=b2-2c+1，z=c2-2a+1，则，x，y，z 中至少有一个不小于0.

证明假设这三个都小于零，即

所以x+y+z＜0.

而x+y+z=（a2-2b+1）+（b2-2c+1）+（c2-2a+1）=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2-2c+1）=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2≥0.

与x+y+z＜0矛盾，所以假设不成立，所以x，y，z 中至少有一个不小于0.

3 反证法的实际意义

3.1 化繁为简

有些证明题从正面入手虽然能解答出来，但是会浪费大量的时间；有些证明题并不是晦涩难懂，很多人也知道怎么去做，但是从正面入手，解题步骤太过烦琐，很多人都望而却步，不想为了这一道题影响整份试卷的成绩.反证法的运用有效解决了这一问题，我们只需代入几个特殊值就能让问题迎刃而解，极大地简化了解题步骤，同时也减少了学生因为冗杂步骤而出错的情况.

3.2 培养学生的逆向思维

反证法教会学生，一条路走不通，就试着从其他路试试，正向解不出来的题目，从反方向来考虑有时候能将学生的思维从呆板的桎梏中解救出来，培养学生思维的灵活性，从而使其更好地适应高考题型的变化.

3.3 提高证明题解题效率和正确率

传统的解决证明题的方法有时步骤特别复杂，而且步骤特别多，一旦其中任何一个环节出现问题，就会直接影响结果的准确性.所以，传统方法的正确率远远不如反证法.反证法步骤简单，需要验算的地方较少，可有效避免因为步骤冗杂而产生错误结果的情况.而且，在验算的过程中，传统方法因为步骤繁多，所以验算起来十分麻烦，但是反证法就不一样，因为反证法步骤少，验算起来一目了然，当结果出现误差的时候，也能及时发现问题所在，从而大大提高了证明题的解题效率.

从上面的实例中我们可以看出，反证法在高中数学证明题解题中发挥着重要的作用，掌握反证法能大大提高学生数学证明题的得分率，让学生的学习事半功倍，所以，正确使用反证法特别关键.反证法的精髓就在于“矛盾”，通过这些“矛盾”，从反面证明原命题的正确性.运用反证法解答证明题的时候，我们一定要严格按照反证法的步骤，一步一步地来，将整个证明题零碎化处理，这样才能保证使用反证法准确地证明出结论.