王昆仑，芮亚运，梁 勇

(安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000)

最优投资组合问题是金融工程领域的一个重要研究课题。在现实经济活动中，由于受通货膨胀的影响，投资者通常会随着投资环境的变化适时地调整其投资策略，从而实现以最低的风险获得最大化的收益。Brennan[1]等在关于通货膨胀环境下的投资组合研究中，分析了名义资产可交易情形下投资者的最优资产分配问题。在通胀不确定下，Bensoussan[2]等探讨了通胀对最优消费和投资决策的影响。Hsiao[3]引入随机价格指数来研究通胀风险下跨期资产分配问题。利用α-极大极小期望效用偏好模型,梁勇[4]等研究了Knight不确定及机制转换环境下带通胀的最优投资问题。费为银[5]等研究了通胀服从均值回复过程的最优消费和投资问题。

跨国投资在经济全球化的背景下已经显得越来越重要。但跨国投资者本币表示的投资收益会面临外汇汇率变动的影响。Andriansyah[6]等研究了汇率对跨国投资的影响。Kozo[7]等研究了汇率及其波动率对跨国直接投资的影响。Wheeler[8]等研究了当外商在加拿大、日本、英国和美国进行直接投资时，汇率波动对其投资的影响。王相宁[9]等的研究发现，随着投资所在国货币的升值，外商的投资逐渐减少。张瑜[10]从实证的角度研究了人民币汇率和外商直接投资的内在关系。结果表明，人民币升值对我国外商直接投资在短期内会产生一定的抑制作用，但从长期来看则起到促进作用。费为银[11]等研究了跳扩散下汇率变动的外商直接投资问题，从经济学角度分析了跳和汇率变动对投资者最优资产配置策略的影响。近年来，吕诚伦[12]等通过对企业跨国投资问题的研究，发现了稳定的汇率制度对企业持久发展的重要性。郑建明[13]等研究了汇率变动情况和跨国企业投资弹性的相关性。严成樑[14]提出通货膨胀会影响企业的预期收益。费为银[15]等通过构建通胀条件下委托代理的契约模型，认为通货膨胀会对代理人的努力水平产生影响。Martijn[16]等通过设计消费的资产定价模型，发现了通货风险是随着时间和股票价格变动的。综上所述，将在汇率变动和通胀风险下研究企业的跨国投资问题。

分析汇率变动风险和通货膨胀风险对跨国投资者最优资产配置的影响。建立了跨国投资者真实财富动力学所满足的随机微分方程，利用随机微分方程和随机控制理论得到了汇率变动和通胀风险作用下跨国投资者的最优资产配置策略，最后对所得理论结果作了数值模拟分析，进而给出结果的经济学解释。

1 模型构建

假设一家中国企业的代理人计划在美国市场上进行投资，那么他将面临汇率变动以及通胀(美国市场)所引起的投资收益变动的风险。

假设投资者面临投资所在国的通胀风险由通胀指数It来刻画

(1)

式中，即期预期通胀率由πt表示；通胀波动率由σI表示。

假设驱动风险债券价格的两个因子即期实际利率rt和即期预期通胀率πt分别满足均值-回复过程

(2)

(3)

Pn(t,T,rt,πt)=exp(-An(T-t)-Bnr(T-t)rt-Bnπ(T-t)πt),

(4)

式中，τ=T-t,An(τ),Bnr(τ)和Bnπ(τ)为Duffie-Kan系数，且满足

终端条件为：An(0)=0,Bnr(0)=0,Bnπ(0)=0,λr,λπ为风险的市场价格，ξ0由研究假设条件(2)给出。

对式(4)运用伊藤公式，给出名义债券的价格动力学方程如下:

(5)

其中，

名义收益定义为

(6)

Pr(t,T)=exp(-Ar(T-t)-Brr(T-t)rt),

其中，Duffie-Kan系数Ar(τ)和Brr(τ)分别满足

类似地，利用伊藤公式，可以给出T时刻到期的通胀指数债券(ⅡB)的价格动力学方程如下[3]:

(7)

其中，μI(t,T-t)=μr(t,T-t)+πt-Brr(T-t)βrσIρIr。

(8)

现在假设名义债券收益式(5)、通胀指数债券收益式(7)和货币账单实际价格式(8)满足3个无套利条件：

μn(t,τ)-Rt=-Bnr(τ)βrλr-Bnπ(τ)βπλπ,∀τ>0,

(9)

μI(t,τ)-Rt=-Brr(τ)βrλr+λIσI,∀τ>0,

(10)

πt+rt-Rt=λIσI,

(11)

其中，风险的市场价格λr,λπ和λI都是常数，有λr<0,λπ<0和λI>0。

在上述假设条件下，有

(1)即期名义利率有下式给出:

Rt=ξ0+rt+πt。

(12)

(2)当投资机会集包含通胀指数债券时，有

ξ0=-λIσI。

2 含有汇率和通胀风险的跨国最优投资策略

定义投资商所在国的货币(即人民币)为本币，投资所在国的货币(即美元)为外币，假设时刻t的汇率(美元/人民币)动力学可表示为:

(13)

式中，h和δ为正常数，h表示即期预期汇率，δ表示汇率波动率，H0已知。

跨国投资者的投资机会集中包含四种投资所在国的风险资产：期满日是T1和T2的两种名义债券、期满日是T3的通胀指数债券和一只风险股票；名义货币账单表示无风险资产。股票价格由几何布朗运动加以刻画

(14)

综合式(5)、式(7)和式(14)，投资机会集中风险资产价格动力学

(15)

其中，

(16)

根据无套利条件式(9)、式(10)和股票动力学式(14)、式(15)中的预期即期收益μt满足

μt=Rr1+Σtλ,

(17)

式中，Rt由式(12)给出，1=(1,1,1,1)T,λ=(λr,λπ,λI,λS)T。

在t时刻跨国投资者所拥有的以外币表示的名义财富为Vt，由式(6)和式(15)可得

(18)

(19)

wt=vtHt为跨国投资者以本币表示的实际财富，结合式(13)和式(19)，由伊藤公式可得投资者以本币表示的真实财富方程

令Xt=(rt,πt)T,结合式(2)和式(3)，将因子动力学以向量的形式改写为

(20)

这里，对于因子Xt，作如下假设

假设1 随机微分方程式(20)的弱解存在。

假设2 随机过程Xt具有平稳的分布。

令J(t,T,wt,Xt)表示跨国投资者在投资区间[t,T]上给定初始实际财富wt和因子状态Xt下的值函数，θ为主观贴现率，投资者的目标是使得其终端财富效用最大化，即

同时，假设代理人的效用函数U为常值，是相对风险厌恶型(CRRA)的，即

式中，γ为相对风险厌恶系数。

根据最优化原理，可以得到相应的HJB方程如下：

(21)

式中，Git是Gt的第i行;JXiXj是J关于X的二阶导。

这里假设值函数J(t,T,wt,Xt)=e-θtU(wt)Φ(t,T,Xt)γ。可以得到以下命题。

命题1 给定跨国投资者的投资机会集，投资者最优资产配置策略:

(22)

式中，IX是n维的单位阵。

于是可以得到以下的一个线性二次偏微分方程

其中

(23)

(24)

(25)

其中，λ满足式(17)。

利用Feymann-Kac公式，可以求得Φ(t,T,Xt)的解。

命题2 在上述假设下，有

(26)

其中，

而且

(27)

(28)

(29)

证明运用文献[3]中的命题1的期望算子表达式(3.25)来进行证明。与文献[3]中的命题11的证明类似。从式(24)、式(25)可以看出，jt和gt均与t无关，即二者为恒定的。因此，可以省略t。此外，基于无套利条件式(11)的替换，在式(23)和式(25)中没有出现πt，因此，可以看出Φ(t,T,rt,πt)独立于πt。

由于g是恒定的，所以根据文献[3]中的命题1的式(3.26)，有

rt的解由下式给出

结合Fubini定理可得

Φ(t,T,rt)=Et,x[exp∏(t,T)],

其中，

这里，∏(t,T)服从正态分布，其均值和方差分别为

根据

就得到了式(26)。证毕。

(30)

将式(30)代入式(22)中，可以得到具体的最优资产配置策略。

命题3 在上述投资机会集下，跨国投资者最优资产配置策略的显式解由式(31)给出。

(31)

式中，记ρAH=(ρrH,ρπH,ρIH,ρSH)T,Σt满足式(16)，Br(T-t)满足式(27)，λ=(λr,λπ,λI,λS)T。

3 数值分析

根据式(31)的结果，研究进行数值模拟并给出相应的经济学解释。研究给出如下部分参数值并通过Matlab作图。

αr=0.124 1,απ=0.401 6,βr=0.010 1,βπ=0.006 7,σI=0.139 1,σS=0.011 5，

λr=-516 8,λπ=-1.568 1,λI=0.101 4,λS=0.866 9,ρrπ=-0.508 2

ρrI=0.060 9,ρIπ=-0.068 8,ρrS=-0.174 4,ρSπ=-0.022 1,ρIS=-0.058 7,

ρrH=-0.02,ρπH=-0.03,ρIH=-0.015,ρSH=-0.04,t=0,T1=3,T2=10,T3=10。

图1 风险厌恶系数γ对最优投资策略的影响

风险厌恶系数γ对于最优投资策略的影响如图1所示(NB3Y表示3年期短期债券，NB10Y表示10年期长期债券)。设定跨国投资期限为10年，投资者风险厌恶系数γ∈[4,1 000]。从图1可以看出，当风险厌恶系数增大时，跨国投资者在3年期短期债券上的头寸逐渐减小，同时在10年期长期债券上的持有头寸会逐渐增大。原因是长期债券比短期债券更为安全。但又会发现短期债券的头寸始终高于长期债券头寸，原因是通胀指数债券对冲作用减缓了通胀风险；在通胀指数债券上的头寸保持稳定，原因是通胀指数债券相对于其他资产来说，是一种更为安全的资产，相对保守的投资者更青睐此种债券；由于跨国投资者的风险厌恶系数较大，所以在风险股票上的头寸很小。

4 结语

由于汇率变动和通胀风险对跨国投资者的投资收益有着显著的影响，所以，跨国投资的投资者需要根据汇率的变动和通胀水平适时地调整其资产配置头寸，以降低风险，获得更大的实际收益。研究风险债券的价格由双因子模型刻画，借助随机分析和随机控制等理论，导出最优策略所满足的HJB方程，进而获得了跨国投资者的最优资产配置策略。利用数值模拟分析方法，分析研究了风险厌恶系数对跨国投资者最优投资策略的影响，并对所得结果进行了相应的经济学解释。所得结果对跨国投资者的投资决策有一定的参考价值。