余国胜

(江汉大学数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056)

0 引言

无穷时滞泛函微分方程理论的发展主要取决于相空间的选取.Hale和Lune[1]研究了无穷时滞泛函微分方程.考虑随机环境干扰，以及时滞在系统中无处不在，例如生物系统、物理系统、信息科学，在实际系统中，时滞还存在于系统状态的导数项中，这样的系统称为中立型系统.中立型系统受到人们广泛关注.吴付科等[2]讨论了无界时滞中立型随机泛函微分方程的Razumikhin-Type定理.谷海波和高彩霞[3]得到了基于Razumikhin-Type理论的中立型随机切换非线性系统的p阶矩稳定性和几乎必然指数稳定性.众所周知，脉冲有时存在于随机系统，朱全新[4]得到了马尔科夫调制脉冲随机泛函微分方程p阶矩指数稳定性.余国胜[5]考虑了Markov调制的无穷时滞脉冲随机泛函微分方程一般衰减意义下p阶矩和几乎必然稳定性.本文中研究无穷时滞脉冲随机泛函微分方程,与文献[5]不同，得到了一般衰减意义下p阶矩稳定性的新结果.

1 预备知识

(1)

f:BPC((-∞,0];Rn)×R+→Rn,g:BPC((-∞,0];Rn)×R+→Rn×m是两个Borel可测函数.对于解的存在唯一性，我们作如下假设

假设1.1[6]函数f(xt,t)和g(xt,t)均满足Lipschitz条件和线性增长条件，即对∀t≥0,∀φ,ψ∈BPC((-∞,0];Rn)，存在L>0使得

|f(φ,t)-f(ψ,t)|2∨|g(φ,t)-g(ψ,t)|2≤L‖φ-ψ‖2,

对∀t≥0,∀ψ∈BPC((-∞,0];Rn)，存在K>0，使得

|f(ψ,t)|2∨|g(ψ,t)|2≤K(1+‖ψ‖)2.

定义1.1[6]λ∈C1(R+;R+),λ′(t)<0,λ(0)=1.且当t→∞时，有λ(t)→0.另外对于所有的t,s≥0,λ(t+s)≥λ(t)λ(s).

当p=2时，称为均方ψγ稳定，当ψ(t)=e-t时，称为p阶矩指数稳定，当ψ(t)=(1+t)-1时，称为p阶矩多项式稳定.

对于系统(1)，任给函数V(x,t)∈C2,1(Rn×R;R+),定义微分算子

2 主要结果

和Lyapunov函数V(x,t)∈C2,1(Rn×R;R+)有

a)c1|x|p≤V(x,t)≤c2|x|p;

E|x(t,φ)|p≤M‖φ‖pλ(t),t≥t0.

定理2.1的证明由数学归纳法往证：

EV(x(t),t)≤M‖φ‖pλc(tk),t∈[tk-1,tk),k≥1

(2)

c2‖φ‖p=M‖φ‖pλ2c(α)≤M‖φ‖pλc(α)≤M‖φ‖pλc(t1)

(3)

假设(2)式对于k=1不真，令

s1=inf{s∈(t0,t1),EV(x(t),t)>M‖φ‖pλc(t1)},

由于EV(x(t),t)在(t0,t1)内连续，则有

EV(x(s1),s1)=M‖φ‖pλc(t1),EV(x(t),t)≤M‖φ‖pλc(t1),∀t∈(t0,s1).

事实上

EV(x(t0))≤c2‖φ‖p.

由(3)式可令

s2=sup{s∈[t0,s1),W(s)

由于W(t)在(t0,t1)内连续，则有W(s2)=c2‖φ‖p.由此可得

c2‖φ‖p≤EV(x(t),t)≤M‖φ‖pλc(t1),∀t∈[s2,s1].

对于θ≤0，t∈[s2,s1],注意ν的定义有

由条件b),对于∀t∈[s2,s1]，

定义D+E[λ(t)V(x(t),t)]=λ′(t)EV(x(t),t)+λ(t)ELV(xt,t)，这里D+是Dini微分.定义如下

其中，χ:R→R是一个连续函数，故有

D+E[λ(t)V(x(t),t)]≤(1-c)λ′(t)EV(x(t),t)，

对于∀t∈[s2,s1),

于是

(4)

与(4)式矛盾，则(2)式当k=1时成立.假设(2)式对于k=1,2,…,m成立，即

EV(x(t),t)≤M‖φ‖pλc(tk),∀t∈[tk-1,tk),k=1,2,…,m

(5)

往证(2)式对于k=m+1仍然成立.由条件c)和(5)式有

(6)

若(2)式对于k=m+1不真，存在一个常数u∈[tm,tm+1),使得EV(x(u),u)>M‖φ‖pλc(tm+1).由(6)式u≠tm.定义u1=inf{u∈(tm,tm+1),EV(x(t),t)>M‖φ‖pλ(tm+1)}.

由于W(t)在区间(tm,tm+1)内是连续的，则有

EV(x(u1),u1)=M‖φ‖pλc(tm+1),EV(x(t),t)≤M‖φ‖pλc(tm+1),∀t∈[tm,u1].

(7)

对于∀t∈[u1,u2],θ≤0,由ν的定义有

和(4)式类似，有

(8)

与(8)式矛盾，对于k=m+1，(2)式成立，故有

注本文中条件b)与文献[5]中条件(3.1a)是完全不一样的，脉冲在系统的稳定性中起到了十分重要的作用.

3 一个实例

本节通过一个具体的算例验证上一节主要定理的有效性.考虑n维无穷时滞中立型脉冲随机非线性系统

(9)