张 茂, 李瑞虎, 宋 倩, 陈 刚

(1.空军工程大学基础部，西安，710051； 2.兰州市27支局30信箱55号，兰州，732750；3.75837部队，广州,510000)

在大数据和云存储系统的发展中，分布式存储系统技术起着重要的作用。在现代分布式存储系统中，简单的数据备份是解决节点错误所采用的最广泛的方法，例如三重备份[1]。随着数据量的急剧增加，备份这种方法的缺点被暴露了出来，纠删码出现在人们的视野中[2-3]。2012年，Gopalan等人提出了一种新的纠删码——局部修复码(LRC)，它将数据修复转换成了构造满足一定条件的经典码的问题[4]：一个局部度为r的[n,k,d]线性码被记为[n,k,d;r]，其最小距离满足界：

(1)

这个界被称为Singleton形界，达到这个界的LRCs被称为最优LRCs。

关于最优LRCs，前人已经做了很多工作[5-19]。目前，在二元、三元域上最优LRCs的研究已经取得了一定进展，但在其他域上还有广阔的发展空间。二元最优LRCs的最小距离不大于4[7]，三元最优LRCs的最小距离为2，3，4，5和6[8]。2014年，文献[6]给出了四元域上d=3,r=3,4的最优LRCs。文献[5]和[11]、[9]、[14]和[17]分别给出了n≤q时、r+1|n时和d≤5时最优LRCs的构造。利用二元恒重码，文献[19]构造了4类距离为5和6的最优LRCs。当r≥d-2且r+1|n时，文献[18]给出了4类距离不小于7的最优LRCs。文献[12]运用群论构造了大域上的最优LRCs。关于最优LRCs的码长的界在文献[10]和[16]中给出。存在一些研究一般域上最优LRCs的论文结果涉及到五元域，具体的码见表1。

表1 文献涉及到五元最优LRCs的结果

对于参数为[n,k,d]的q元线性码，如果参数为[n,k,d+1]的码不存在，则称该q元码为最优的。文献[20]中已经讨论了3维和4维最优码的局部度，其中得到的10个码长不大于12的局部修复码的参数达到了Singleton形界。……