李鹏飞 佟喜峰 游博洋

（东北石油大学计算机与信息技术学院 大庆 163318）

1 引言

在地球物理、遥感技术、工业控制以及信号（图像）处理等众多科学技术领域中，一般都存在反问题的求解问题。这些反问题对应的数学模型很多都是病态线性方程组。

在求解病态线性方程组时，其数值解是不稳定的。由于系数矩阵和右端常数项量大多来源于原始观测资料，而原始资料中存在的观测误差会因系数矩阵的病态性被放大，导致算法的数值解偏离真解而失去意义。以Ax=b方程组为例说明病态系数矩阵对解的误差的放大作用。在其系数矩阵和右端向量存在观测误差时，则变为如下形式：

式（1）有如下估计式成立［1］：

其系数矩阵的谱范数意义下的条件数为2503，属于比较严重的病态程度。精确解为x1=-100，x2=-200。假设系数矩阵存在扰动，则方程组变为

则得到一个截然不同的解：x1=40000，x2=79800。

当病态系数矩阵的条件数很大时，在不对系数矩阵做出预先处理的情况下，就直接使用常规的求解方法得到的数值解误差会非常大甚至无法获得数值解。所以，目前对于病态线性方程组求解一般都围绕先对病态系数矩阵进行改良这种方法开展工作，即先对病态系数矩阵进行预处理，将其改造成良态矩阵后，再进行求解。文献［2］中SSOR-ICCG算法，其迭代过程不影响ICCG算法的收敛性，而且通过SSOR预处理来降低系数矩阵的条件数，从而提高算法的稳定性，加快收敛速度。该算法要求系数矩阵必须对称正定。……