聂晓华，万 良，刘继君

（南昌大学信息工程学院，南昌330031）

0 引 言

桥式吊车是一种常见的装卸搬运货物装置，在码头、仓库、厂矿等场合被大量应用。其运动系统主要由小车、桥架、重物等组成［1-2］。吊车的工作流程：将重物从地面上吊至一个预先设定的高度，通过桥架驱动系统和小车驱动系统行走到某个预先设定位置的上方，将重物下卸在这一位置上。桥式吊车使搬卸工作轻便易行，但也带来了一个致命的缺点，即：吊车行走时使重物产生不必要的摆动［3］，不仅影响吊车对重物的定位下卸的精度，还会增加工作过程中的危险。本文主要介绍桥式吊车系统的建模、性能分析以及使吊车运行时具有尽量小的重物摆动角度和重物下卸时具有高精度的控制系统综合问题。

1 系统的数学模型

根据需要，画出桥式吊车工作模型图如图1 所示。为了简化系统，现认为桥架固定，小车在桥架上运动；且吊装重物的绳子长度为一定值l。基于以上假设，可以建立小车及重物的运动方程式：

（1）小车的运动方程

式中：M为小车质量；xM为小车的位移；F为驱动电动机对小车的作用力；f 为重物对小车产生的拉力；θ 为重物的摆动角度。

（2）重物的水平运动方程

图1 桥吊系统工作示意图

式中：m为重物质量；xm为物体的水平方向位移。

（3）重物的垂直运动方程

式中：zm为重物的垂直方向位移。假设绳子长度l不变，因为摆动角度θ要求足够小，容易推出：

（4）小车驱动装置的方程式

式中：Td为时间常数；F（t）为电机产生的驱动力；w（t）为电动机的电压控制量；K为放大系数。

选择系统的5 个状态变量分别为：x1＝xM、x2＝两个输出变量分别为：y1＝xM、y2＝θ。假设其中参数有：M＝1 000 kg，m＝4 000 kg，l＝10 m，Td＝1 s，K＝100 N/V。能够求得小车运动系统的状态空间表达式为：

在以上讨论的基础下，可以将系统的设计任务描述成：设计一个合适控制w（t）用来驱动小车电动机，让小车系统在x轴上从初始位置精确地运动到一个事先规定的位置上，并保证系统具有良好的动态特性，最为关键的是使重物的摆动角度θ（t）在整个运动过程中应当尽量小，且小车运动到最终位置时摆角应为零。

2 系统的结构特性分析

2.1 系统的稳定性判别

由李雅普诺夫第一法，在Matlab 中求系统矩阵的特征值，容易得到矩阵A 的5 个特征值是：0、0、±j2.21、-1，可以看出其中虚轴上有4 个特征值，所以开环的桥吊系统是非渐近稳定的［2］。

根据状态空间表达式（7）利用Simulink 搭建小车运动系统在开环状态下的仿真结构；其中给定输入信号w＝10，初始状态为：

开环状态下位移量与摆动角度的动态过程如图2所示。

图2 开环状态下位移和摆角的动态过程

仿真结果证明，小车运动系统在开环状态下，重物的摆角θ随小车的位移增加呈振荡表现，并未渐近于零。显然，这种动态过程系统性能极差，不符合控制要求［5］。

2.2 系统的能控性及能观性判别

依据系统状态空间表达式（7），利用Matlab 工具求得系统的能控性矩阵和能观性矩阵，且秩都为5，说明该系统是能控且能观的。可以将系统设计成状态反馈控制，又能够用状态观测器。

3 控制系统的设计

3.1 状态反馈跟踪系统的设计

这是一个对小车位移进行控制的问题，将系统的输出状态变量x1，即小车的位移作为系统输出方程，因此，小车运动系统的状态空间表达式变为：

式中：状态量维数n＝5；输入量维数p、输出量维数q都是1。取一对决定系统动态特性的主导极点，另外3个闭环极点配置在主导极点左侧较远的位置［6］。为了使系统具有良好的动态特性，可以选取阻尼系数ξ＝0.707。假设调节时间ts＝25 s，则有ωn＝0.226，那么主导极点决定的特征多项式为：

解特征方程求得对应的2 个主导极点为-0.16 ±j0.16，则另外3 个闭环极点按上述极点配置原则可确定都为-1。

在Matlab中可以得到所需的状态反馈矩阵：k＝［0.52 4.83 -1 420.70 0.02］。并在Simulink中搭建得到相应系统的仿真结构图。在有输入变换条件下，初始状态为：

其中，给定输入信号w＝10，即驱动小车的电动机控制电压为10 V。初始状态表明要求小车从初始值的2 m运动到终止值的10 m，重物摆动的初始角度为0.1 rad。该控制策略能够实现系统所需的基本控制要求，但存在响应速度较慢的问题，且要求5 个状态变量都可直接测量，所需的传感器过多，成本大。

3.2 具有状态观测器的状态反馈跟踪控制系统的设计

上诉采用的是全状态反馈控制，前提是5 个状态变量都可以直接测量得到。实际上除了输出量外其他状态变量不能够直接测量得到，因此，需要设计合适的状态观测器对不能直接测量的状态变量进行间接观测。输入量：y1（t）＝x1（t）＝xM（t）、y2（t）＝x3（t）＝θ（t）分别为小车的水平位移和重物的摆动角度，这两个量可通过相应传感器测量得到。对于被控系统，有rankC＝2，所以，为间接获得状态量x4（t）＝θ（t）、x5（t）＝F（t）的信息，可以根据式（9）设计一个3 维的状态观测器。应用Matlab 容易求出非奇异变换矩阵Q 及其逆阵R。对被观测系统进行非奇异变并按对偶系统的状态反馈控制极点配置方法，在Matlab中求得反馈矩阵T。

得出三维状态观测器的方程式为：

可以进一步求原状态空间中x重构值：

状态反馈和输入变换与前面相同。初始状态由直接测量与间接观测得到，与式（10）一致。并在Simulink中搭建得到系统相应的仿真结构图。

3.3 渐近跟踪控制系统的设计

控制系统原理图如图3 所示，将系统期望输出yr＝10 作为给定参考信号。跟踪控制方法是由镇定补偿器和伺服补偿器相结合，用以保证小车能够精准定位，且具有良好的动态性能。

图3 渐近跟踪控制系统原理图

控制作用由两部分组成：状态反馈控制u1，使系统稳定和具有满意的动态性能；u2由“伺服补偿器”产生，能够实现输出y对yr跟踪，使小车能够精准地停在给定参考位置上。其中：yr是阶跃函数，其特征多项式为φ（s）＝s。按上述方法，容易判别系统是能控且能观的，有：n＝5；p＝q＝1。可确定出伺服补偿器的模型为：

即：Ac＝0，Bc＝1；e＝ yr-y。对于φ（s）＝s＝0，可求出根λ ＝0，有：

因此，系统满足渐近跟踪控制的设计条件。将相应矩阵代入，得到渐近跟踪系统状态方程式：

根据极点配置原则［6-8］，设6 个期望闭环极点分别为则渐近跟踪系统的状态反馈控制为

伺服补偿器起到消除阶跃信号输入时产生静态误差的作用。初始状态仍然不变，利用Simulink 对系统的动态过程进行仿真。

3.4 带观测器的渐近跟踪控制系统的设计

同样地，为减少传感器数量，将渐近跟踪控制与三维状态观测器结合，在Simulink 中对系统的动态过程进行仿真。

4 仿真结果及分析

4 种控制方法在Simulink仿真实验下的5 个状态变量动态过程如图4 所示。

图4 4种控制策略下各状态变量的动态过程

仿真结果中，4 种控制方法均能实现重物的精准卸载和运动过程中的抗摆动。能够有效解决开环状态下摆角θ震荡问题，但策略1 直接状态反馈控制系统和策略3 渐近跟踪控制系统，状态变量需要全部测量得到，所需传感器数量较多，成本高。策略2 带观测器的状态反馈控制达到稳态时间较长，且位移量存在超调，系统性能较差。而策略4 带观测器的渐近跟踪系统经过22 s后小车从2 m 的起始位置无超调地运行到10 m的终止位置，而且重物的摆动角度存在0.1 rad的初始角度情况下，在整个运动过程中始终保持在一个很小范围内（-0.05 ～0.15 rad），最终无摆动地停留在一个设定的终止位置xM＝10 m处，能够很好的实现桥吊系统中小车的精准定位和重物防摆。

5 结 语

本文通过对桥式吊车系统建立数学模型，并分析小车系统的运动特性，为了优化控制效果，分别设计了在状态反馈控制、带观测器的状态反馈控制、渐近跟踪控制、带观测器的渐近跟踪控制共4 种控制规律下的小车运动系统。分别在Simulink中搭建仿真结构图并进行仿真，得出各策略下5 个状态变量的动态过程，结果表明，相比其他3 种策略，带状态观测器的渐近跟踪控制系统具有良好的动态性能，能够减少非必要传感器的使用，节省成本。实现重物的精准定位及抗摆动能力强，控制效果最优。