关婕　苗芳

【摘要】 回弹系数是评价泡沫材料的一个关键参数。通常，研发人员使用光电方法实现落球回弹仪回弹量的自动测量，但由于传感器输出小球下落信号的复杂性，该仪器的相关指标很难使用通用计数器进行测量。本文首先应用数学方法对落球回弹的物理过程进行分析，然后对其原理方程进行化简，接着对文献中提及的两种回弹仪实现方式进行比较后，研制了一种落球回弹仪。最后，本文还提出了一种落球回弹仪校准方法，并将该方法应用在落球回弹仪的计量校准中。

【关键词】 落球回弹仪;计量校准;时间间隔;通用计数器;回弹系数

【DOI编码】 10.3969/j.issn.1674-4977.2020.04.002

A kind of Ball Rebound Tester for Flexible Cellular

Polymeric Materials

Abstract： The percentage rebound value r is a key parameter for evaluating the resilience of flexible cellular polymeric materials. Usually，researchers use photoelectric detection method to construct the ball rebound tester and measure the rebound value automatically. But the accuracy of ball rebound tester is hard to measure by universal counter for the complexity of the output waveform of the sensor. This paper analyzed the physics model by mathematical method，simplified the theoretical equation，compared two kinds of approaches mentioned in literature，developed a ball rebound tester，proposed and realized a calibration method for the tester in the end. Nowadays，the tester is distributed and the calibration method has been used in calibrating the ball rebound testers designed with the photoelectric detecting technique.

Key words： ball rebound tester;calibration;time interval;universal counter;rebound value

GUAN Jie，MIAO Fang

（Liaoning Institute of Measurement，Shenyang 110004，China）

材料的機械特性是由它们的物理性质决定的，可以通过测量它们对外界作用力的反应来进行评估[1]。回弹系数r是用来衡量泡沫回弹性能的关键参数[2]。

1 概述

落球回弹仪结构简单，使用方便，经常被用来测量泡沫材料的回弹系数。最初，研究者使用目测的方法读取小球的回弹高度。这种方法枯燥、劳神，并且容易受到人体反应速度的影响，测量准确度和复现性都较低。后来，一些测量人员使用高速摄像机或照相机拍摄整个回弹过程，再通过回放的方式确定小球的回弹高度。这种方法的成本较高，并且由于拍摄速度的问题，会给测量结果带来一定的误差（最大可达4‰）。随着光电检测技术的发展，很多老旧的落球回弹仪被光电落球回弹仪取代或改进。

现如今，研究人员普遍使用光电方法实现落球回弹仪的研制[1-4]。一些研究者使用双探头方式测量回弹高度，而另一些则使用单探头方式完成测量。使用双探头方式的回弹仪电路逻辑简单、但测量范围变小，并且相对成本提高，因此越来越多的回弹仪采用单探头方式。本文将详细分析回弹系数的测量原理、设计规则以及校准方法。

在本文中，我们首先使用微分方程描述整个落球回弹的过程;然后再通过数值计算的方法对方程中的关键量的影响进行分析，进而对整个物理过程进行简化，并推算得到落球回弹高度的解析表达式;然后再依据以上原理具体实现一台落球回弹仪;最后本文还开发了一种落球回弹仪校准方法，并将其应用于日常落球回弹仪的计量校准中。

2 物理模型

将一个钢球从特定高度落下，然后测量其撞击泡沫材料表面后回弹的高度，小球回弹过程中的受力分析如图1所示[5-7]。我们可以根据牛顿第二定律列出方程（1），并用其对图1的物理过程进行描述。其中，g代表重力加速度（文中的计算都认为g=9.8 m/s2）;fd（t）是空气阻力，并且其方向一直与小球的运动方向相反;fb（t）是空气浮力，其方向始终沿着z轴的正方向;m代表钢球的质量;V代表小球的体积;a（t）代表小球的加速度;z（t）代表小球所处的z轴的物理位置。

本文中，小球的位置就是小球质心的位置。依据物理定律，我们可以列出方程（2）～（5），其中v（t）代表小球的速度;Cd代表空气阻力系数;ρ代表空气密度;A代表小球的横截面积;R代表小球的半径。从方程（1）～（5）很容易推导出方程（6）。

空气阻力系数Cd是一个很复杂的参数，其具体数值与运动物体的形状、速度等多种因素有关。Asai T专门研究了Cd与雷诺数之间的关系，并且通过大量实验确定了表1[8][9]。根据ISO 8307方法A中要求的实验条件，质量m为16.8 g的小球的下落高度为500 mm，小球的半径R为8 mm，实验时空气密度ρ近似为1.293 kg/m3。在不考虑空气阻力的情况下，通过自由落体公式可以计算得到小球在刚好下落到测试样品表面时的最大速度为3.1305 m/s。由此通过查询表1，我们可以估计得到小球下落时最大的空气阻力系数Cd为0.5，那么按照方程（4）进行计算，得到空气阻力的最大值为6.6553E-4 N。同样，我们也可以计算得到小球在空气中的浮力为2.7176E-5 N。

3 物理模型的简化

由于方程（6）是一个二阶非线性微分方程，很难获得其解析解，所以通常使用数值方法对方程（6）进行求解。我们计划使用一片低成本的MCU作为落球回弹仪的控制芯片。显然，使用一片主频为70MHz的ARM7芯片进行微分方程的数值分析计算是不现实的，因此我们需要根据实际情况和需求对方程（6）进行简化。

根据上一节的估算，我们发现即使是小球遇到的最大的空气阻力，也是一个很小的数值。我们能将其进行忽略吗？在本文中，我们首先采用4阶龙格库塔法对空气阻力的影响进行数值分析。假设当回弹的小球在刚刚离开测试样品表面时的最大速度为3.1305 m/s，我们可以通过Matlab对小球回弹的曲线进行计算。图2a是小球回弹时考虑空气阻力时的曲线，图2b是小球回弹时不考虑空气阻力影响时的曲线，图2c是图2a与图2b曲线的差别，可以发现空气阻力对小球回弹过程的影响很小。

图2只是一种直观的定性分析，这里我们使用动量定理进行定量分析。依据物理定律，我们使用公式（7）评价空气阻力的效果，使用公式（8）评价重力的效果，其中Mr为空气阻力的动量值，Mg为重力的动量值。这里，我们仍然假设回弹小球在刚刚离开测试样品表面时的最大速度为3.1305 m/s，经计算得到Mr为1.3638E-4 kgm/s，Mg为0.1054 kgm/s。可以发现空气阻力对小球回弹过程的影响值约为重力对小球回弹过程影响值的1‰，并且远远小于本装置的设计准确度1%。因此我们忽略空气阻力对小球回弹过程的影响，依据同样的原理，我们也忽略浮力的影响。最终，方程（6）可以被简化为方程（9）。

[Mr=fdtdt=12Cd×ρ×A×v2tdt] （7）

[Mg=mgdt] （8）

[m×zt=m×g] （9）

4 硬件实现

图3a给出了一个完全符合ISO 8307要求的落球回弹仪的基本结构[5]。其中，电磁铁用于吸取或释放小球，其完全由主机中的控制电路进行控制。操作人员可以通过主机对整个测试过程进行控制，并读取最终测量的回弹高度和回弹系数。图3b给出了小球回弹整个过程的曲线，其中H1为小球自由落体高度，H2为红外光电传感器中心的高度，R为小球的半径。图3c给出了红外光电传感器的输出波形，其中t1为小球初始下落，其下端刚刚到达H2高度的时刻值;t2为小球初始下落，刚刚完全通过H2高度的时刻值;t3为小球第一次回弹上升时，其上端刚刚达到H2高度的时刻值;t4为小球第一次回弹上升时，刚刚完全通过H2高度的时刻值;t5为小球第一次回弹下降时，其下端刚刚到达H2高度的时刻值;t6为小球第一次回弹下降时，刚刚完全通过H2高度的时刻值。按照ISO 8307中的描述，我们需要通过测量t3时刻与t6时刻间的时间间隔，然后计算小球的回弹高度H3。

经过上节的简化，方程（9）被用来描述小球回弹的物理过程。由此我们可以构建方程组（10），其中Δt为t3时刻与t6时刻间的时间间隔，其可以使用精确计时电路进行测量。很容易发现H3高度对应的时刻正好处于t3时刻与t6时刻正中间。我们最终可以通过公式（11）来计算H3的数值。这里我们使用STM32F103R作为主机中的MCU，利用其外触发功能与计时器功能实现t3时刻与t6时刻的记录，然后计算出Δt，并通过公式（11）计算得到小球的回弹高度H3，最后通过公式（12）计算出泡沫材料的回弹系数r。

5 校准

李向阳曾使用高速照相机/摄像机对落球回弹仪进行校准[10]。尽管这种方法简便易行，但其准确度受到摄像机刷新率的限制。假设摄像机拍摄图像的速度为25帧/s，经过计算，高度测量的最大误差约2 mm。除此之外，由于回弹高度不好预估，摄像机的拍摄位置很难与回弹高度保持水平，这也会引入视觉上的误差。为了校准落球回弹仪，本文首先使用示波器记录红外光电传感器输出的波形，然后使用光标读取需要测量的时间间隔Δt，最后再依据公式（11）计算理论高度。

通常，光电传感器的连接线有3根，一根为GND线，一根为电源线，一根为信号输出线。我们将传感器的GND线与信号输出线引出，与一台示波器（MSO4054）连接。图4a为我们研制的落球回弹仪，图4b为示波器观测到的传感器输出信号。经过与图3c的对比，可以发现图4b中的第一个脉冲①为小球第一次下落，通过高度H3时的传感器输出波形;第二个脉冲②为小球第一次回弹，上升过程中通过高度H3时的传感器输出波形;第三个脉冲③为小球第一次回弹，下降过程中通过高度H3时的传感器输出波形;第四个脉冲④为小球第二次回弹，上升过程中通过高度H3时的传感器输出波形;t3时刻与t6时刻的位置也容易判断，通过示波器的X轴光标功能，就能测量得到所需的时间间隔Δt的具体数值。对于MSO4054，当屏幕宽度为500 ms时，示波器的时间准确度约为2‰，完全满足准确度为1%的落球回弹仪的校准需求。我们使用该方式对本装置进行校准，数据列于表2中。依据误差计算公式，可以得到本装置的测量准确度为1%。

通常，我们将基于光电传感器原理落球回弹仪的校准过程分为2个步骤。首先，需要检查传感器的功能是否正常（这步只是一個功能检查）。图5a为该项检查的连接示意图。其次，我们需要使用任意波发生器检测主机的计时、计算功能是否准确。使用任意波发生器输出一个标准波形给主机，当任意波发生器输出波形的幅度不满足主机输入要求时，还需要使用放大器对标准信号进行放大，具体的连接原理图如图5b所示。我们可以利用软件生成与图3c中波形类似的波形（例如使用为Agilent公司的任意波发生器33250时，可以使用该公司提供的IntuiLink进行波形编辑）。例如，我们使用10000个点生成1个1 Hz的波形，则每个点所对应的时长为0.1 ms，那么时间间隔Δt就需要Δt/0.1 ms个点构成。按照以上原则，就可以构造许多标准波形。图5c为这种波形构造方法的示意图，其中脉冲宽度可以设为10点（1 ms），脉冲①与脉冲②间的宽度应大于200点（20 ms），脉冲④与计算无关，可以被忽略。

6 结论

应用在不同场合的泡沫材料对弹性的要求不尽相同。落球回弹仪可以用来快速测量泡沫的回弹性能。我们使用红外光电传感器构建了一台落球回弹仪，并开发了一种校准方法对其进行校准。使用第5节中的测试方法，可以确定我们研发的落球回弹仪准确度达到1%，满足ISO 8307中的指标要求。

该仪器的准确度与分辨力取决于装置对时间间隔的测量能力。STM32F103内部计时器的分辨力并不是很高，如果我们需要进一步提高准确度与分辨力，可以使用专用TDC芯片（TDC-GP2）进行时间间隔测量。依据目前的标准规定，1%的准确度已经满足回弹系数的测量需求。

本文中的校准方法已经被用来对类似产品进行校准，该思路还可应用于生成0.5%以上的标准失真波形、特殊的时间间隔波形以及振动信号。

【参考文献】

[1]    T.Raphael，C.D.Armeniades.The “ADL Ball Rebound Tester”[J].Polymer Engineering & Science，1964（2）：83-89.

[2]    施晖.聚氨酯泡沫回弹率测定仪的开发与应用[J].聚氨酯工业，2002（2）：48-50.

[3]    朱丽芬.HT-16型落球回弹测定仪[J].仪表技术与传感器，1992（1）：23-23.

[4]    张军.软时测电路在落球回弹仪中的应用[J].试验技术与试验机，1992（1）：21-26.

[5]    Flexible cellular polymeric materials-Determination of resilience by ball rebound：ISO 8307[S].

[6]    软质泡沫聚合材料 落球法回弹性能的测定：GB/T 6670[S].

[7]    Standard Test Methods for Flexible Cellular Materials—Slab，Bonded，and Molded Urethane Foams：ASTM D3574[S].

[8]    Asai T，Akatsuka T and Haake S. The physics of football[J].Phys. World，1998（6）：25-27.

[9]    周雨青，葉兆宁，吴宗汉.球类运动中空气阻力的计算和分析[J].物理与工程，2002（1）：55-59.

[10]  李向阳.关于HT-16型落球回弹测定仪准确度检测方法的探讨[J].试验技术与试验机，1992（1）：21-26.

【作者简介】

苗芳（1966-），女，高级工程师，学士，研究方向为科研管理。