向小东

(福州大学经济与管理学院， 福建福州 350108)

一、引言

近年来，随着碳排放量的增加和气候相对不利的变化，人类社会的生存和可持续发展受到了一定程度的威胁，许多国家纷纷采取措施以减少二氧化碳等温室气体的排放。其中，碳限额与交易政策就是国际社会减排的重要政策措施之一。同时，由于各国政府大力开展气候变化宣传教育，倡导低碳消费，消费者低碳环保意识逐渐增强，对低碳产品愿意支付更高的价格或表现出更强的需求偏好。在此背景下，政府碳限额与交易政策、企业减排决策等相关的低碳供应链管理成为了近期管理科学研究领域的热点问题之一。在碳限额与交易政策下，从博弈角度研究供应链减排的现有文献主要集中在供应链减排短期博弈、供应链减排短期博弈与协调两大方面。

在碳限额与交易政策下，赵道致等分析了由两个制造商和一个占主导地位的零售商组成的二级供应链中联合减排问题。[1]郭继东等构建了占主导的制造商与零售商组成的供应链博弈模型，并求解得到了模型均衡解。[2]Ji等构建了占主导的制造商与零售商组成的供应链博弈模型，分析了消费者低碳偏好下双渠道供应链成员的减排行为。[3]

在碳限额与交易政策下，李媛等构建了占主导的零售商与制造商组成的供应链博弈模型，在收益共享的寄售契约下研究了供应链的绩效。[4]杨仕辉等构建了占主导的供应商和制造商组成的供应链博弈模型，得到了博弈均衡解和收益共享契约参数。[5]通过建立上下游制造商间博弈模型，蔡立燕等研究了上下游冲突型低碳供应链的协调问题。[6]采用经济订货批量库存模型，支帮东等构建了制造商为核心企业、供应商为成员企业的博弈模型，认为成本共担契约可实现供应链协调。[7]Cao等建立了制造商作为领导者、零售商作为跟随者的博弈模型，研究发现收益共享契约可以协调供应链。[8]Xu等分析了由供应商主导，制造商跟随的低碳供应链的决策与协调问题，发现两部收费制契约能实现供应链的完美协调。[9]对于制造商与零售商组成的供应链，Jiang等研究了制造商作为领导者的博弈模型、二者的集中决策模型及供应链系统的协调问题。[10]

另外，在碳限额与交易政策和消费者低碳偏好环境下，刘名武等建立了供应商与零售商组成的供应链低碳技术减排投入与合作的微分博弈模型，得到了实现双赢的低碳技术特征条件。[11]在碳交易政策及一些假设条件下，魏守道研究了两个供应商和两个制造商组成的两级供应链减排研发微分博弈问题。[12]

由前述文献可知，碳限额与交易政策下低碳供应链减排博弈及协调近年来得到了研究者的较多关注，取得了不少成果，这些成果为进一步的研究提供了基础与借鉴。但是，这些文献中大多研究的是二级供应链短期静态博弈，此博弈模型下得到的最优解是企业短时间内的最优策略，不能反映减排的长期效果。同时，在碳限额与交易政策下，不仅要求制造商进行产品减排，也要求供应商向制造商提供低碳化的原材料，需要零售商积极宣传售卖低碳产品以将低碳产品潜在的价值实现。因此，在碳限额与交易政策下对三级供应链的减排研究具有较强的现实意义。另外，已有文献中产品市场需求的影响因素一般只考虑碳排放、价格等一个或两个因素，不够全面，与实际也不完全相符，所得结论对现实的指导价值自然就相对有限。还有，碳限额与交易政策下也未见到三级供应链微分博弈时如何协调的文献。基于上述认识，本文在碳限额与交易政策下，考虑产品需求受供应商原材料减排量、制造商产品减排量、零售商低碳宣传促销努力及产品零售价格的综合影响，研究由供应商、制造商和零售商组成的三级供应链减排微分博弈及协调问题。

二、符号说明与基本假设

(一)符号说明

zS(t)：t时刻供应商S的减排努力水平。

zM(t)：t时刻制造商M的减排努力水平。

zR(t)：t时刻零售商R的低碳宣传促销努力水平。

w(t)：t时刻低碳产品批发成本基础上的加成价。

xS(t)，xM(t)：t时刻单位原材料及单位产品的减排量，是状态变量。

pc：碳市场决定的碳交易价格，是外生变量。

eS0，eM0：未减排时单位原材料与单位产品的初始碳排放量。

egS，egM：政府确定的供应商与制造商的碳配额。

(二)基本假设

(1) 供应商单位原材料减排量及制造商单位产品的减排量是一个动态变化的过程，可用微分方程表示，即

(1)

其中:xS(t)、xM(t)分别表示t时刻单位原材料的减排量、单位产品的减排量，且xS(0)=xS0≥0，xM(0)=xM0≥0。αS>0、αM>0分别表示供应商、制造商各自的减排努力对单位原材料、单位产品减排率的影响系数，βS>0、βM>0是单位原材料、单位产品减排率函数的衰减率。这里假定随着时间的推移，已投资的减排设备会老化，减排率存在一个衰减率。该假设借鉴了游达明等的做法。[13]

(2) 制造商、零售商都具有低碳偏好，“产品”的低碳度越高，他们愿意支付的价格越高。设原材料批发价wS=w0+kSxS，产品批发价wM=wS+w1+kMxM，产品零售价p=wM+w，其中w0>0为供应商提供的未减排的原材料的价值，w1>0为对原材料“加工、制造”带来的价值，kS>0与kM>0为原材料与最终产品单位减排量对各自批发价的影响系数。

(3) Fouad El Ouardighi and Konstantin Kogan将市场需求影响因素分为价格因素和非价格因素[14]，此处假设

D(t)=D0+θSxS(t)+θMxM(t)+θRzR(t)-θp

其中：D(t)为t时刻低碳产品的市场需求；D0≥0为常数，表示产品的初始市场需求；θS>0，θM>0，θR>0，θ>0分别表示单位原材料、单位产品减排量对产品需求的影响系数，零售商R的低碳宣传促销努力程度对产品需求的影响系数，消费者价格敏感系数。将假设(2)的相关表达式代入需求函数可得

D(t)=D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+

(θM-θkM)xM+θRzR-θw

(2)

(4) 供应商、制造商的减排成本是其减排努力的凸函数，零售商低碳宣传促销成本是其努力的凸函数(由于零售商在销售产品过程中碳排放量较少，因而不考虑零售商减排问题)，即有

(3)

其中:CS(t)，CM(t)分别为t时刻供应商、制造商的减排成本，CR(t)为零售商低碳宣传促销成本；ηS>0，ηM>0分别为供应商、制造商的减排成本系数，ηR>0为零售商低碳宣传促销成本系数。

(5) 供应商、制造商、零售商都是基于完全信息进行理性决策，不计供应链存货成本、缺货成本、管理成本等；在无限时间范围内，供应商、制造商、零售商在任意时刻均具有相同的折扣因子ρ>0。

三、模型构建及分析

(一)微分博弈(即分散决策)情形

在碳限额与交易政策下，考虑由单个供应商S，单个制造商M和单个零售商R组成的三级供应链。假设三级供应链的决策时序为：首先供应商决定原材料生产中的减排努力水平zS，其次制造商决定产品生产过程中的减排努力水平zM，再次零售商决定低碳产品的宣传促销努力水平zR及低碳产品批发成本基础上的加成价w。因此，供应商S、制造商M、零售商R的决策问题分别为：

pc(eS0-xS)[D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

pc(eM0-xM)[D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

(5)

(6)

(7)

(8)

pc(eM0-xM)[D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

(10)

pc(eS0-xS)[D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

(11)

(12)

将式(8)、式(10)、式(12)代入式(11)、式(9)与式(7)，整理得式(13)、式(14)、式(15)

由式(13)、式(14)、式(15)可知，价值函数都是关于状态变量的二次式，因而可假设

(16)

其中:a1、b1、c1、d1、e1、f1、a2、b2、c2、d2、e2、f2、a3、b3、c3、d3、e3、f3为待定参数。将式(16)及其对xS、xM的偏导数代入式(13)、式(14)、式(15)中，对比式(13)、式(14)、式(15)左右两边的同类项系数，可得18个待定参数的方程组(由18个方程组成，因篇幅所限，此处省略)。

(17)

(18)

(19)

(20)

由式(17)至式(20)可知：(1)供应商减排努力与ηS负相关，与αS正相关，制造商的减排努力与ηM负相关，与αM正相关，且减排努力水平都随状态变量xS、xM的变化动态变化；(2)零售商的低碳宣传促销努力、零售商的加成价与ηR、θ、w0、w1、kS、kM负相关，与D0、θS、θM正相关，且零售商的宣传促销努力、加成价都随状态变量xS、xM的变化动态变化。

将式(17)、式(18)代入状态方程式(1)，据联立微分方程组的解法[15]可求得碳限额与交易政策下微分博弈情形三级供应链供应商与制造商减排量xS、xM的最优轨迹

(21)

(22)

式(21)、式(22)中

e-ρtVS(xS,xM)可得最优利润值函数

(23)

同理可得

(24)

(25)

因此三级供应链系统总利润值函数为

(二)集中决策(即合作)情形

在此情形下，供应商、制造商、零售商以供应链系统总利润最大为原则共同来确定zS、zM、zR和w的值。此时供应链系统的决策问题为

θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

(27)

(28)

(29)

(30)

将式(28)、式(29)代入状态方程式(1)，可得供应商与制造商减排量xS、xM的最优轨迹

(32)

(33)

式(32)、式(33)中

(三)供应链协调研究

一般情况下，据系统原理，供应链集中决策的总利润大于分散决策总利润。如果集中决策时供应商、制造商、零售商能在事先达成的协议中合理分配利润，将有机会促使供应链成员分得的利润均大于等于微分博弈情形下的各自最优利润，实现供应链系统的pareto改善及协调。供应链协调既可以采用非合作博弈方法，也可以采用合作博弈方法。本文考虑吴育华等的多人联盟博弈的多目标决策合作博弈方法。[16]此系在距离意义上离理想分配向量最近的一种方法。要用此方法进行总利润分配，关键是先找出合作博弈的特征函数v(·)。下面运用最大最小思想求解特征函数。最大最小思想体现了联盟成员在面临最猛烈攻击时总利润的“底线”，这样定义的特征函数自动脱离了联盟外成员的干扰。

据上述最大最小思想，对供应商S，在式(1)约束下，有

-pc(eS0-xS)[D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

因而v(S)=lS(xS0,xM0)。同理，对制造商M，零售商R，有

所以v(M)=lM(xS0,xM0)，v(R)=lR(xS0,xM0)。

类似，对供应商S与制造商M，供应商S与零售商R，制造商M与零售商R，分别有

pc(eS0+eM0-xS-xM)[D0-θw0-θw1+(θS-θkS)xS+(θM-θkM)xM+θRzR-θw]+

所以v(S,M)=lSM(xS0,xM0)，v(S,R)=lSR(xS0,xM0)，v(M,R)=lMR(xS0,xM0)。另外，应有v(φ)=0，v(S,M,R)=JC·(xS0,xM0)。

求出了特征函数v(·)以后，可确定理想分配向量U=(uS,uM,uR)，其中ui(i=S,M,R)为局中人i的理想分配数，以局中人i在大联盟中的边际贡献值作为ui。因此有

uS=v(S,M,R)-v(M,R)

uM=v(S,M,R)-v(S,R)

uR=v(S,M,R)-v(S,M)

求出了理想分配向量后，据多人联盟博弈的多目标决策方法[17]，同时将微分博弈的结果作为参与约束以满足个人理性，可得二次规划模型(其中xS,xM,xR为供应商、制造商、零售商的最终分配值)。

min(xS-uS)2+(xM-uM)2+(xR-uR)2

(34)

四、算例分析

(一)两种情形下模型的求解及灵敏度分析

假设D0=10，xS0=xM0=0，αS=αM=0.2，βS=βM=0.6，kS=kM=0.5，eS0=eM0=2，egS=egM=10，θS=θM=θR=1，θ=0.5，w0=3，w1=3，pc=1，ηS=ηM=ηR=2，ρ=0.9。将这些参数值代入前述两种决策情形可得到三级供应链相关变量的取值及各自策略。

所以有

VS(xS(t),xM(t))=21.9468+0.0800e-1.1346t-2.3877e-0.5673t

VM(xS(t),xM(t))=21.9468+0.0800e-1.1346t-2.3877e-0.5673t

VR(xS(t),xM(t))=60.9386+0.0809e-1.1346t-4.0958e-0.5673t

故有J·(xS0,xM0)=96.2017。

对于集中决策情形，可得到(舍弃了减排量小于等于0的相关变量的取值及最优策略)：

因而有V(xS(t),xM(t))=124.4457+1.9898e-1.0210t-26.6681e-0.5105t

所以有JC·(xS0,xM0)=99.7673。

由上述结果可知：(1)微分博弈与集中决策两种情形下，三级供应链各成员的策略皆为随时间变化的动态策略。(2)两种情形下，供应商原材料减排量、制造商产品减排量都随时间推移逐渐增大到某稳定值，但微分博弈情形的减排量稳定值明显小于集中决策情形的减排量稳定值，表明集中决策有利于供应链减排。(3)两种情形下，供应商、制造商、零售商的努力水平都随时间推移逐渐增大到一稳定值，但供应链中三方各自在微分博弈情形的努力水平稳定值明显小于集中决策情形相应的努力水平稳定值。(4)两种情形下，零售商对低碳产品的加成价都随时间推移逐渐增大到一稳定值，但微分博弈情形的稳定值明显小于集中决策情形相应的稳定值。(5)微分博弈情形下供应链总利润小于集中决策情形供应链总利润。

为了提供更多的管理启示，以上述参数取值为基准，对αS、αM、θR、pc在微分博弈及集中决策两种情形下进行灵敏度分析，结果如表1所示。

表1 灵敏度分析计算结果

由表1并结合前文内容可得如下结论:(1)无论微分博弈情形还是集中决策情形，随着αS、αM、θR值增加，供应商、制造商、零售商最优努力水平的稳定值，零售商对产品最优加成价的稳定值，供应商、制造商各自的最优减排量的稳定值，供应链整体最优总利润都在增加。(2)两种情形下，当αS值增加时，供应商减排努力水平的稳定值增加速度、供应商的单位原材料减排量的稳定值增加速度明显大于相应的制造商减排努力水平的稳定值增加速度、制造商的单位产品减排量的稳定值增加速度，当αM值增加时，制造商减排努力水平的稳定值增加速度、制造商的单位产品减排量的稳定值增加速度明显大于相应的供应商减排努力水平的稳定值增加速度、供应商的单位原材料减排量的稳定值增加速度。(3)两种情形下，随着pc值增加，供应商与制造商的减排努力水平的稳定值，零售商对产品最优加成价的稳定值，供应商与制造商各自的最优碳减排量的稳定值都在增加。(4)两种情形下，随着pc值增加，供应链整体最优总利润都在减少。

(二)供应链集中决策总利润的协调分配

下面以算例中的基准参数取值情况说明集中决策总利润如何分配的问题，即供应链系统的协调问题。将前面的基准参数值代入前面相应模型可解得v(S)=lS(xS0,xM0)=10，v(M)=lM(xS0,xM0)=10，v(R)=lR(xS0,xM0)=49，v(S,M)=lSM(xS0,xM0)=20，v(S,R)=lSR(xS0,xM0)=76.2636，v(M,R)=lMR(xS0,xM0)=76.2636。另外，应有v(φ)=0，v(S,M,R)=JC·(xS0,xM0)=99.7673。

求出了特征函数v(·)以后，可求出uS、uM、uR，将相应的值代入模型(34)并求解，可得xS=19.6390，xM=19.6390，xR=60.4893，即

五、结论启示

本文通过理论及数值分析，得到了一系列结论。这些结论所含的管理启示如下。

(1)在碳限额与交易政策下，三级供应链成员企业应尽可能实现全面合作，采取集中决策方式，这样既有利于增加三级供应链的总利润，同时还有利于供应商原材料减排与制造商产品减排。但全面合作需要供应链企业合理分配合作利润这个前提，在实践中供应链企业可以考虑前述的满足个体理性的多人联盟博弈的多目标决策方法进行总利润分配。(2)策略的动态性意味着供应链成员企业在实践中应关注时间因素，根据策略表达式及各参数取值情况，不同时间采取不同的具体行动。(3)供应商与制造商应加强减排技术研发或减排技术引进及利用意识，提高减排效率，同时，政府部门也可采取措施激励供应商、制造商减排技术的研发或引进，比如给予减排企业一定数额的研发补贴或引进补贴；零售商可通过对潜在顾客相关的大数据的挖掘，进行精准低碳宣传促销，改善促销效率，这些效率的提升不仅会给供应链成员企业带来经济效益，也因减少了排放量而带来了社会效益。(4)因碳交易价格的增加一方面使得减排量增加，但另一方面使供应链整体利润减少，所以政府相关部门可对碳交易价格进行适当管制，使其不要过高或过低，平衡好社会效益与经济利益。

注释：

[1] 赵道致、原白云、夏良杰，等：《碳排放约束下考虑制造商竞争的供应链动态博弈》，《工业工程与管理》2014年第1期。

[2] 郭继东、马书刚：《总量-交易机制下制造商占优的供应链减排博弈分析》，《企业经济》2017年第6期。

[3] Jingna Ji，Zhiyong Zhang，Lei Yang,“Carbon emission reduction decisions in the retail-/dual-channel supply chain with consumers’ preference”，JournalofCleanerProduction，vol.141(2017)，pp.852-867．

[4] 李 媛、赵道致：《收益共享寄售契约下考虑碳减排的供应链绩效》，《管理工程学报》2016年第3期。

[5] 杨仕辉、王 平：《基于碳配额政策的两级低碳供应链博弈与优化》，《控制与决策》2016年第5期。

[6] 蔡立燕、刘 俊、王傅强：《碳交易机制下存在冲突行为的供应链协调研究》，《铁道科学与工程学报》2016年第5期。

[7] 支帮东、陈俊霖、刘晓红：《碳限额与交易机制下基于成本共担契约的两级供应链协调策略》，《中国管理科学》2017年第7期。

[8] Jian Cao，Xuemei Zhang，Gengui Zhou,“Supply chain coordination with revenue-sharing contracts considering carbon emissions and governmental policy making”,EnvironmentalProgress&SustainableEnergy，vol.35,no.2(2016),pp.479-488．

[9] Jianteng Xu，Yuyu Chen，Qingguo Bai,“A two-echelon sustainable supply chain coordination under cap-and-trade regulation”,JournalofCleanerProduction，vol.135(2016)，pp.42-56．

[10] Wen Jiang，Xu Chen,“Optimal strategies for low carbon supply chain with strategic customer behavior and green technology investment”,DiscreteDynamicsinNatureandSociety，vol.2016(2016),pp.1-14．

[11] 刘名武、万谧宇、付 红：《碳交易和低碳偏好下供应链低碳技术选择研究》，《中国管理科学》2018年第1期。

[12] 魏守道：《碳交易政策下供应链减排研发的微分博弈研究》，《管理学报》2018年第5期。

[13] 游达明、朱桂菊：《低碳供应链生态研发、合作促销与定价的微分博弈分析》，《控制与决策》2016年第6期。

[14] Fouad El Ouardighi，Konstantin Kogan,“Dynamic conformance and design quality in a supply chain：an assessment of contract’s coordinating power”，AnnalsofOperationsResearch，vol.211,no.1(2013),pp.137-166．

[15] G．甘道尔夫：《经济动态学》，王小明、李永军、张亚红等译，北京：中国经济出版社，2003年，第200-208页。

[16][17] 吴育华、刘喜华、郭均鹏：《经济管理中的数量方法》，北京：经济科学出版社，2008年，第169-174页。