侯艾君，蒲 洋，廖家锋，2*

（1.西华师范大学数学与信息学院，四川南充637002； 2.西华师范大学公共数学学院，四川南充637002）

1 前言及主要结论

考虑如下带奇异项的 Schrödinger-Poisson系统

其中，Ω⊂R3是一个有界开区域且具有光滑边界∂Ω，a，b≥0且a+b ＞ 0，m ＞ 0，λ ≥0，1 ＜ p≤6，0＜ γ ＜ 1为非零非负函数.6为Sobolev空间嵌入到Lp（Ω）（p∈[1，6]）的临界Sobolev指数.是Kirchhoff型非局部项，故当 b＞0时，系统（1）又称为奇异的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson 系统.记

和

当a=1，b=λ =0时，文献[1]研究了系统（1），即

其中，η=±1，μ＞0.利用变分方法，当 η=1时，获得了系统正解的存在唯一性；当η=-1且μ＞0充分小时，获得了系统2个正解的存在性.文献[2]研究 Kirchhoff-Schrödinger-Poisson 系统

其中，Ω⊂R3是一个有界开区域且具有光滑边界∂Ω，a，b≥0 且 a+b＞0，λ，μ∈R+=[0，+ ∞），f∈C（（0，+∞），R+）在 0 附近非增且有（即具有奇异性），g∈C（R+，R+），系数函数h为满足一定条件的正函数，当f、g满足一定的条件时，获得该系统正解的存在性和唯一性.此外，文献[3]还获得了带一般奇异项的 Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统的2个正解.其它有界区域上的 Schrödinger-Poisson系统的可参见文献[4-6].文献[7-9]研究了系统（1）中单个方程的非局部问题.文献[10-15]等对奇异Kirchhoff型问题进行了广泛研究.

一个自然的问题：系统（1）是否也存在正解？本文利用变分方法和临界点理论，证得系统（1）正解的存在唯一性，从而推广了文献[1]中定理1.1的结果.具体结论如下.

定理1假设 a，b≥0 且为非零非负函数，系统（1）都存在唯一的正解

注1一方面，定理1将文献[1]的部分结果推广至奇异的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统；另一方面，文献[2]只对具有非局部项的奇异的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统进行了研究.定理1将文献[2]的部分结果推广到具有的奇异的 Kirchhoff-Schrödinger-Poisson 系统.

2 定理的证明

从而，系统（1）的解就等价于求问题（3）的解.

的最佳Sobolev常数.

首先，为了方便，根据文献[1]的引理2.1，给出问题（2）解φu的如下重要性质.

命题1[1]1）；

2）φu≥0，且当 u＞0时，有 φu＞0；

3）对任意的 t∈R 且 t≠0，有 φtu=t2φu；

引理1假设 a，b≥0且为非零非负函数，则泛函 I在能达到极小值，即存在 u*∈，使得

证明不妨记首先，证明m*是有定义的.由Hölder不等式和（5）式得

根据命题1中的性质2）以及（6）和（7）式可得

这就意味着：m*＜0.接下来，证明在空间中m*是可达的.

根据m*的定义，存在一个极小化序列使得由 I（｜un｜）=I（un），不妨假设 un≥0在 Ω 中几乎处处成立.显然，｛un｝在中有界.从而存在一个子列（仍记为｛un｝）和u*≥0使得当n→∞时，有

令wn=un-u*，只需证明当n→∞时‖wn‖→0.根据文献[12]中的（6）式，可得

进一步，由（8）式和 Brézis-Lieb 引理可得

一方面，1＜p＜6时，依据（8）、（9）式和命题1 中的性质5）以及范数的弱下半连续性，可得

这就意味着I（u*）=m*.另一方面，p=6时，依据（8）～（10）式和命题1中的性质5）以及范数的弱下半连续性，可得

这就得到I（u*）=m*.引理1证毕.

接下来给出定理1的证明.

定理1的证明事实上，只需证明为问题（3）的解，即是系统（1）的解.

首先，证明u*（x）＞0在Ω中几乎处处成立.由，有

根据Lebesgue控制收敛定理，可得

对任意的x∈Ω，记

则

这就意味着：h（t）对一切的t＞0是非增的.进一步，对任意的x∈Ω，有，其中，当 u*（x）=0且 φ（x）＞0时，上式值可能是+∞.从而，根据单调收敛定理（Beppo-Levi定理），可得

这里可能取到+∞.再结合（12）式和命题1中的性质 6），在（11）式中让 t→0+，可得

这就意味着u*（x）＞0在Ω中几乎处处成立.

接下来，证明u*是问题（3）的解.即只需证明u*满足（4）式.根据（13）式，只需证明（13）式对一切的都成立.定义η：[-δ，δ]→R 为η（t）：=I（u*+tu*），则 η 在 t=0 处达到极小值，这就意味着

当 ε→0+，有 meas Ω1→0，上式两边同时除以 ε，并令 ε→0+，可推得

因此，这个不等式对于-φ也成立，故u*是问题（3）的一个正解，且 I（u*）＜0.因此，（u*，φu*）是系统（1）的解.

最后，证系统（1）解的唯一性.即证明问题（3）解的唯一性.假设v*为问题（3）的另一个解.由（4）式可得

根据（15）和（16）式可得

其中

根据Hölder不等式，可得

由0＜γ＜1，p＞1，容易得到

因此

一方面，若 a＞0，再结合命题1中的性质8），由（17）式得到 a‖u*-v*‖2≤0.这就意味着‖u*-v*‖2=0，即u*=v*.另一方面，若 a=0，再结合命题1中的性质 8），由（17）式可得‖u*‖ =‖v*‖，且 J（u*，v*）=0.从而有

即 u*=v*.因此，（u*，φu*）是系统（1）的唯一解.定理1证毕.

致谢西华师范大学基本科研基金项目（15D006和16E014）和西华师范大学创新团队科研基金项目（CXTD2018-8）对本文给予了资助，谨致谢意.