吴腾云，陈国龙①

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

在模型论中，滤子［1]出现在超积理论中. 滤子是偏序集合［2]的特殊子集. 滤子起源于拓扑学，并常在序理论［3]和格理论［4]中出现，它的特殊使用情况是：要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合包含来排序.

文献［5]对滤子进行研究，通过介绍滤子和常见几种滤子的定义，给出常见几种滤子的实例，在此基础上，给出滤子的一些性质和常见滤子的关系.

滤子的对偶概念是理想，由于滤子和理想在概念上的序对偶性，关于滤子的讨论通常可以与理想相关联. 文献［6]讨论正则剩余格的性质，并定义正则剩余格的理想、滤子、同态与同余关系，通过讨论它们的性质，得出正则剩余格的理想与滤子是一一对应的. 而文献［7]则给出超格中的理想的定义，研究超格中的理想的一系列性质. 文献［8]是在扩大模型下，用超理想的单子对超理想进行刻画，进而用它给出理想为超理想的条件，最后给出理想的单子与超理想的单子之间的关系. 文献［9]对理想的和、交与积等性质做进一步的推广，给出任意多个理想的和、交与积的性质.

本文是在模型论中滤子的基础上对理想进行研究，并探讨超理想的若干性质以及在理想下的紧致性定理，丰富了文献［10-12]中的相关结果.

1 预备知识

定义1［1]设P为非空集合，S(P)为P的一切子集所成的集合，若I⊆S(P)满足下列诸条件：

（1）P∈I；

（2）若X,Y∈I,则X⋂Y∈I；

（3）若X∈I且Z⊆X⊆P，则Z∈I.则称I为P上的一个滤子，如果I满足（1）（2）（3）之外又满足

（4）∀X∈S(P),X∈I当且仅当(PX)∉I.则称I为P上的一个超滤子.

如果P上的滤子I≠S(P)，则称I为P上的一个真滤子.

定义2［2]设(P,≤)是偏序集，对于a∈P与S⊆P，规定：

↑(a)=简记↑a），

↓(a)={x∈ |

P x≤a}，（↓(a)简记↓a），

↑(S)=⋃{↑ |

(a)a∈S}，

↓(S)=⋃{↓ |

(a)a∈S}.

当S=↑S时，称S为上集；当S=↓S时，称S为下集.

定义3［2]设(P,≤)是偏序集，I与F都是P的非空子集.

（1）若I是定向的下集，则称I是偏序集(P,≤)的理想；

（2）若F是余定向的上集，则称F是偏序集(P,≤)的滤子.

定义4［2]设(P,≤)是∨-半格，则

（1）若I⊆P，0 ∈I，则I是理想当且仅当∀a,b∈P,a ∨b∈I⇔a∈I,b∈I；

（2）P的任意理想的交是理想.

2 主要结论

定义5设P为非空集合，S(P)为P的一切子集所成的集合，若I⊆S(P)满足下列条件：

（1）P∈I；

（2）若X,Y∈I,则X⋃Y∈I；

（3）若X∈I且Z⊆X⊆P，则Z∈I.

则称I为P上的一个理想［8]，如果I满足（1）（2）（3）之外又满足

（4）∀X∈S(P),X∈I当且仅当(PX)∉I.

则称I为P上的一个超理想.

如果P上的理想I≠S(P)，则称I为P上的一个真理想.

定义6I为P上的超理想，若任意p∈P,{p}∉I.则称I为P上的非主超理想.

定义7设P为非空集合I上的超理想，μp(p∈P)为语言L的一族模型，定义模型族μp(p∈P)是以I为模型的超积它也是L的模型.

命题1设E是S(P)的任一子集，I是E上的理想，则

（1）I是P上的理想；

（2）I是所有X∈S(P)的集合使得X=P或存在Y1,Y2,…,Yn∈E,满足Y1⋃Y2⋃…⋃Yn⊂X；

（3）I是真理想当且仅当E有有限并的性质.

证明（1）显然成立.

下证（2） 设I′是所有X∈S(P)的集合，使得X=P或存在Y1,Y2,…,Yn∈E,满足Y1⋃Y2⋃…⋃Yn⊂X.下证I=I′.设P∈I′,X,X′∈I′,Yi,Yj∈E,使得Y1⋃Y2⋃…⋃Yn⊂X,Y′1⋃Y′2⋃…⋃Y′m⊂X′.若X⊂Z⊂P,则Y1⋃Y2⋃…⋃Yn⊂Z.因此Z∈I′,进而

所以X⋃X′∈I′,因此I′是P上的理想，显然E⊂I′,

下证D⊂D′.F是P上包含E的任意理想，则P∈F,对任意Y1,Y2,…,Yn∈E有Y1⋃Y2⋃…⋃Yn∈F,因此任意X∈S(P),Y1⋃Y2⋃…⋃Yn⊂X∈F，则I′∈F,I′⊂I故I=I′.

（3）由（2）知显然成立.

定理1I为P上的超理想⇔I为P上的极大真理想（即I为P上的真理想，并且在P上不存在真理想F≠P，能使I⊆F.）

证明必要性. 设I为P上的超理想，则由超理想定义知P∈I，从而空集∅=(PP)∉I. 所以I是P上的真理想.

设F是P上的真理想，并且I⊆F. 现在证明F=I. 假若F≠I，则存在X∈F满足X⋂I=∅,因∅∉I，从 而由De Morgan 定 律 可 得，故由理想的定义可知，即矛盾！从而F=I,F是P上的真理想.

充分性. 设I为P上的极大真理想. 考虑任一X∈S(P)，若X∈I，则由I为真理想易知，(PX)∉I.

反 之，设(PX)∉I，现 在 证 明X∈I. 令X∉I且E=I⋃{X} ，设F={Y：Y⊆P并 且 存 在 有 限 个Z1,Z2,…,Zn∈E使得易见E为P上的理想并且I⊆E,X⊆E. 假若X∉I，则I≠E，从而由I的极大性有E=S(P). 从而∅∈E，故由E定义可知，存在有限个Z1,Z2,…,Zn∈E，使Z1⋃Z2⋃…⋃Zn=∅. 如果Z1,Z2,…,Zn∈I，则∅∈I，与I为真理想矛盾. 故Z1,Z2,…,Zn∈X，从而∅=Z1⋃Z2⋃…⋃Zn∈X,取从而PX=P∈I矛盾！故X∈I.

定理2P上任一个真理想E都能扩张为P上的一个超理想I.

证明令Τ={F：F为P上真理想且E⊆F},则Τ为一个非空的偏序集，并且对Τ中理想的任一升链F0⊆F1⊆…⊆Fξ⊆…(ξ ＜α)，易知其交集也在Τ中. 故由Zorn 引理可知，Τ存在极大元，任取其一记作I，从而易知E⊆I且I为P上的极大真理想. 由定理1可得I为P上的超理想.

命题2设P为非空集，I为P上的超理想. 若子集X,Y⊆P，满足X⋂Y∈I，则X∈I或Y∈I.

证 明设X∉I且Y∉I, 由 超 理 想 的 定 义 可 知且即从而X⋂Y∉I. 矛盾！

推论1任一无限集P上都存在非主超理想.

证明令F={X：X⊆P且PX有限},则易得F为P上的一个真理想，由定理2可知，F能扩张为P上的一个超理想I.

推论2（理想下的紧致性定理） 设T为L中的理论，令P为T的一切有限子集所成的集合. 如果对每一p∈P都存在p的模型μp，则存在P上的超理想I，能使是T的模型.

证 明对 每 一 语 句φ∈T，令φ={p∈P：φ∈p} ，再 令E={e⊆p： 存 在 有 限 个φ1,φ2,…,φn∈T，使(φ1⋃φ2⋃…⋃φn)⊆e}，易见E为P上的理想，又由于对任何φ1,φ2,…,φn∈T(n≥1)都有{φ1,φ2,…,φn}∈(φ1⋃φ2⋃…⋃φn)，故知空集∅∉E，所以E是I上的真理想. 再由定理2 知，E可扩张为P上的一个超理想I. 对任何φ∈T，有{p∈P：μp⊨φ}⊇φ，但φ∈E⊆I，从而有{p∈P：μp⊨φ}∈I. 再由超积基本定理知，所以