付培兵

【教学内容】

义务教育教科书人教版六年级数学上册第107页例1，第108页“做一做”、拓展练习。

【教学目标】

1.结合现实生活中的具体情境体验数学与日常生活的紧密联系，通过观察、操作、归纳等活动，学生借助形来直观感受形与数的关系，能借助形解决一些与数有关的问题。

2.学生通过数与形分析思考问题，从而感悟数形结合思想，提高解决问题的能力。

3.学生在探究过程中感受数学知识的奥妙，获得乐趣，体悟成功，进一步增强对数学学习的兴趣和信心。

【教学重点、难点】

重点：借助形与数之间的关系，培养学生用数形结合思想解决问题。

难点：找到合适的形来表示数，在形中找出数的规律。

【设计理念】

数是形的抽象概括，形是数的直观表现。“数与形”是人教版数学教材新增加的內容，一段时间以来，它都是数学教师研究的热点内容。对于该课大家都有着不同的理解与思考、不同的探究与实践。这节课中要让学生学什么，是教师首先要考虑的问题。新课程标准下的数学教学应注重渗透数学思想，数形结合思想就是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

1.从生活实际问题和学生已有知识出发，消除课堂学习中的陌生感，调动学生的学习热情，让学生在愉悦中初步感知数形结合的数学思想。

2.重“言传”更重“意会”，教学中让学生通过想一想、摆一摆，引导学生找到合适的形来表示数并在形中找出数的规律，体验数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。

3.让学生在观察、思考、合作探究中充分体会到数学的魅力，将儿童引入一个神奇的智力世界，让学生触摸“真”数学，引发“真”思考，促进“真”发展，体会“数形有机融合”之美，让数学课堂有数学味，让深度学习持续发生。

【教学过程】

一、让学生初步感知数形结合的数学思想

师：如图1，你会求这两块菜地的总面积吗？

生1：先求萝卜地的面积是12.5×8，再求大蒜地的面积是8×2，最后相加得12.5×8+8×2。

生2：先求这两块菜地的全长是12.5+2，再求总面积是（12.5+2）×8。

师：都求出了总面积，12.5×8+8×2和（12.5+2）×8的关系怎样？

生3：12.5×8+8×2=（12.5+2）×8。

师：如果用a、b、c分别替换12.5、2和8，你能表示出这两块菜地的总面积吗？

生4：（a+b）×c=a×c+b×c。

师：不错！我们可以借助图形的形象、直观来解释运算定律的抽象、概括。

（教师出示图形）

师：这是直角吗？

生5：是。

生6：不是。

师：看来不确定，如图2（标出度数后），现在呢？

生7：不是，因为89°<90°。

师：此时，你认为数的优势是什么？形的优势又是什么？

生8：数可以很精确。

生9：形可以很直观。

师：说得太好了。

设计说明：用怎样的素材让学生体会形中有数、数中有形，是需要思考的问题。教学中，教师从生活实际问题和学生已有知识出发引入新课，既消除了课堂学习中的陌生感，又有效调动了学生的学习热情。不仅如此，不同的素材又指向不同的教学目的，前者突出“以形助数”，后者突出“以数解形”。如此巧妙贴切的素材设计，令人耳目一新。通过对这两个素材的分析交流，学生对于“数与形有紧密联系”有了初步的感知，对数形结合思想的进一步探究有了更强烈的欲望。

二、重“言传”更重“意会”，让学生充分感知数与形有机融合之美

师：你能很快算出1+3+5+7+……+99=（ ）2吗？

师：解决复杂问题我们不妨从简单问题入手。

1=（ ）2，1+3=（ ）2，1+3+5=（ ）2……

1+3+5+7+9+11+13=（ ）2。

师：根据已有知识，你会想到在解决什么问题时也是这样计算的呢？

生：计算正方形的面积时。

（此时，数的问题便和正方形有机融合了。教师拿出相应个数的正方形摆成了倒“L”形，和开始的那个正方形一起组成较大的正方形，学生动手实践操作，通过观察数与形之间的关系找到了其中的规律，那就是算式的和等于排列成的大正方形中所包含小正方形的总个数，小正方形的总个数等于正方形每边个数的平方，每边的个数等于算式中加数的个数，这样借助图形通过等式的传递性，最终得到了“从1开始，连续几个奇数相加的和就等于几的平方”的简便算法。）

师：你现在能很快算出1+3+5+7+……+99=（ ）2吗？

生：1+3+5+7+……+99=（50）2。

师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？

生：正方形。

师：看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。就像这道题一样，我们借助图形（图3）发现了更巧妙、更简便的方法。

师：请根据例1的结论算一算1+3+5+7+5+3+1=（  ）。

生1：可以这样想，1+3+5+7+5+3+1=（25），1+3+5+7=42=16，5+3+1=32=9，16+9=52=25。

生2：还可以这样想，5+3+1=32=9，1+3+5+7+9=52=25。

生3：我是这样做的，1+3+5=32=9，9×2+7=25。

师：同学们太会思考了，1+3+7+9+11能利用规律计算吗？

生4：先借一个5来，然后再减去借来的5。

师：是这样吗？你太灵活了。

（学生热烈鼓掌）

设计说明：教育的要义是让每一个学生“灵动”起来，成为学习和生活的主人。教师充分领悟编者的意图，给予学生充足的探索时空，让学生动手实践，去感受数学的魅力。学生通过想一想、摆一摆，找到了用正方形来表示数和在正方形中找出数的规律，体会到数与形的对应关系，感受到形可以展示数的特点，通过形解决数的问题变得更加容易，两者互相印证结果，在這个教学过程中，“意会”胜于“言传”，教师退位为学习活动的组织者、参与者、见证者，只在关键之处予以点拨、启发。在练习环节中教师步步为营，学生在不同梯度练习中更加灵活地运用和掌握所总结的规律，数与形的有机融合让学生的运算能力、空间观念、推理能力和谐生长。

三、深度参与，让数形结合思想扎根于学生脑中

师：20182-20172=（ ）。

生1：老师刚才说解决复杂的问题不妨从简单题目入手，我从这句话中得到了启示，我们可以采用化繁为简、以小见大的方法帮助思考，因为42-32=7，82-72=15，从而推算20182-20172=4035。

师：现学现用，真好！

师：让我们借助数形结合的方法再来理解下吧。

师：如图4，在准备好的大正方形（边长为a）纸片中，在左下角位置剪去一个小正方形（边长为b）纸片，剩下部分的面积有几种求法呢？从中你发现了什么？

（学生动手操作，教师借助课件演示帮助学生理解）

师：以后我们将要学习的平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，大家求解20182-20172=（ ）。

生：20182-20172=（2018+2017）×（2018-2017）=4035。

设计说明：数形结合思想贯穿于学生学习的整个过程，课堂上教师不仅要教授学生知识和方法，更要教给学生一种数学思想，这一教学理念应成为我们全体数学人的共识。教师要让学生“会学”而不是“学会”，要让学生的思想向更深处漫溯，就要遵循学生的认知发展规律，让学生通过数学思想来学习数学，锻炼数学思考力，发展逻辑思维能力，让数学课堂有数学味，让深度学习持续发生。

四、畅谈收获，让数形结合思想在学生心中升华

师：今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你有什么收获？

师：通过数与形结合来分析思考问题，我们发现了数与形的密切联系，充分感知了数与形有机融合之美。接下来请同学们欣赏华罗庚的一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”

设计说明：在整理环节中，教师将数形结合的体会与交流进行到底。“数与形有怎样的关系呢？”因为有了前面的讨论交流，学生的回答十分精彩：“这两个是相互依赖的关系”“密不可分的关系”“互相帮助的关系”……在畅谈收获中，教师因势利导，数形结合思想在学生心中得以升华。此时，华罗庚曾经说的“数缺形时少直观”“形缺数时难入微”就不是一句简单引用的名言，而是学生深刻理解之后的心声，教师注重在“意会”中引领学生去感悟数与形的有机融合之美。

（作者单位：南昌大学附属小学）