杜雨亭，刘 瑞，王小霞

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

2003年，Kuhnemund F[1]在Banach空间上附加了一个比范数拓扑粗的局部凸拓扑，使得半群在局部凸拓扑下连续，从而提出双连续半群的概念，半群理论得到进一步发展。在文献[1]的基础上，王文娟等在文献[2-4]中提出了双连续C-半群和双连续n次积分C-半群的概念，并得到了一系列结果；另一方面，孙国正等在文献[5-10]中研究了几类半群在抽象柯西问题中的应用。所以本文将两者结合起来，研究了双连续n次积分C-半群与抽象柯西问题的关系，进一步推广算子半群理论，扩展其应用领域，从而使算子半群理论更加完善。

1 预备知识

设X为Banach空间，X′为X的共轭空间。τ是X上由半范数族pτ所确定的并具有以下性质的一个局部凸拓扑。

(1)空间(X，τ)在‖·‖-有界集上序列完备。即每个‖·‖-有界柯西列在(X，τ)中收敛。

(2)τ拓扑是比‖·‖-拓扑粗且是Hausdorff拓扑。

(3)空间(X，‖·‖)中的范数可以由空间(X,τ)′定义。即对每一x∈X，有

‖x‖=

sup{||:φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,τ)′≤1}。

记φ={φ∈(X,τ)′:‖φ‖(X,τ)′≤1}，L(X)表示空间(X，‖·‖)上线性有界算子全体。不失一般性，假设p(x)≤‖x‖,x∈X,p∈pτ。

定义1[4]设C∈L(X)且为单射，算子族

{T(t):t≥0}⊆L(X)，如果

(1)T(0)=0,T(t)C=CT(t),t≥0；

(2)对∀x∈X，s,t≥0，有

T(t)T(s)x=

(3){T(t):t≥0}强τ-连续，即对每个x∈X，映射t→T(t)xτ-连续；

(4){T(t):t≥0}局部等度双连续；

(5){T(t):t≥0}指数有界。

则称{T(t):t≥0}为指数有界双连续n次积分C半群。

定义2[4]设{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，对任意λ∈Λω，记

{x∈X,Cx∈Im[R(λ)]}。

线性算子A:D(A)⊆X→X定义为

Ax=[λ-R(λ)-1C]x,x∈D(A)。

则算子A称为{T(t):t≥0}的生成元。

性质1[4]设{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，A为{T(t):t≥0}的生成元，则以下结论成立：

(1)Im[R(λ)]⊆D(A)且

R(λ)(λ-A)⊆(λ-A)R(λ)=C，∀λ∈Λω；

(2)T(t)Ax=AT(t)x,x∈D(A),t≥0；

(3)x∈D(A)且

考虑下列抽象柯西问题

①

定义3 设A是双连续n次积分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的无穷小生成元，u(t)∈C(I,X)，C稠值。若

(1)u(t)在I上几乎处处τ-可微且

(2)u(t)在I上几乎处处满足①。

则称u(t)是抽象Cauchy问题①的强解。

2 主要结果

定理1 设A是双连续n次积分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的无穷小生成元，C稠值，x∈X,f(t)∈L1(I,X)，定义

证明必要性：

设u(t)是抽象Cauchy问题①的一个强解，记α(s)=T(t-s)u(s)，0≤s≤t≤T，则由定义3及性质1知，对几乎所有的s∈I有

T(t-s)(Au(s)+Cf(s))=

将其两边从0到t积分得

T(0)u(t)-T(t)u(0)=-T(t)x。

⋮

τ-y(n)(t)=u(t)。

所以y(n)(t)是①式的强解。

充分性：

故β(t)∈D(A)。

又由(A，D(A))是双闭算子且

②

对②式关于t求n次导数得

且y(k)(0)=0,k=1，2，…,n-1。关于t再求一次导数得

由此可知，τ-y(n)满足(1)且τ-y(n)(0)=x，故τ-y(n)是问题①的强解。

定理2 设A是双连续n次积分C-半群{T(t);t≥0}∈G(n,M,ω,C)的无穷小生成元，x∈D(An+1),f∈C(I,X),C稠值，定义x(t)=y(t)-C-1T(t)x，则问题①存在强解的充分必要条件是下列条件之一成立：

(2)x(t)∈Cn(I,X),对几乎所有的t∈I,

τ-x(n)(t)∈D(A),τ-Ax(n)(t)∈L1(I,X)。

证明(1)对x∈D(An+1)⊂D(A)，由性质1得C-1T(t)x∈Cn+1(I,X)，再由定理1充要性成立。

(2)必要性显然，下证充分性。

由已知得

x(n)(t)=y(n)(t)+(τ-C-1T(n)(t)x)，

③

又由x(t)∈Cn(I,X)得y(t)∈Cn(I,X),因为x(n)(t)在I上几乎处处τ-可微，由③式得y(n)(t)在I上几乎处处τ-可微，从而

τ-Ay(n)(t)+Cf(t)-(τ-AC-1T(n)(t)x)=

τ-Ax(n)(t)+Cf(t)。

又因τ-Ax(n)(t)∈L1(I,X),可得

从而由(1)可知充分性成立。