方晓玲

摘 要：圆锥曲线题目涉及知识面广、综合性强，在教学中发现学生在解决此类问题时常因疏忽出错.本文列举一些常见的错误解法并进行错因剖析，希望能给同学们一些帮助.

关键词：圆锥曲线;归类剖析; 正解点睛

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考重点考查内容.在每年的高考中都占有较大的比例，其中有诸多盲点或者可设陷阱的知识点.本文将一些常见的错误进行简要归因分类，期望能增强同学们防错的“免疫力”.

1 套用定义，产生错解

在历年高考试题中，圆锥曲线的概念是一个必考点，如圆锥曲线的定义、焦点坐标等，这些是要牢记的知识点，不能混淆.

例1 已知双曲线x2 16-y2 9=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到点（-5，0）的距离是.

错解 设双曲线的两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），由双曲线的定义，知||PF1|-|PF2||=8.

所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5.

故点P到点（-5，0）的距离为16.5或0.5.

剖析 由题意，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1，所以|PF1|=0.5不合题意.事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线的定义，分析出点P的存在情况，然后再求解.本题中，因左支上的点到右焦点的最短距离为9>8.5，故点P只能在右支上.所以|PF1|=16.5 .

2 忽视范围，造成误解

在解关于圆锥曲线的综合题时，要考虑圆锥曲线本身的范围，而在进行纯代数运算时常常会忽略它.

例2 已知实数x，y满足x2 4+y2=1，试求z=（x-1）2+y2的最值.

错解 由x2 4+y2=1，得y2=1-x2 4.

则有z=（x-1）2+y2=3 4（x-4 3）2+2 3≥2 3.

所以z的最小值为2 3，不存在最大值.

剖析 圆锥曲线中的横纵坐标存在其本身固有的范围，求有关最值时若忽视了这一点，就会出现上述解法中的错误.事实上，本题中还应考虑到-2≤x≤2，于是可得z的最大值与最小值分别为9与2 3.

3 盲目互换，形成疵解

在求圆锥曲线方程时，要注意焦点在x轴还是y轴上.

例3 若双曲线的渐近线方程为y=±1 2x，焦距为10，则此双曲线的方程为.

错解 若双曲线的焦点在x轴上，可设其标准方程为x2 a2-y2 b2=1，由a2+b2=（10 2）2及b a=1 2可解得a2=20，b2=5.

所以此时双曲线方程为x2 20-y2 5=1.

若双曲线的交点在y轴上，由a2+b2=（10 2）2及a b=1 2可解得a2=5，b2=20.

所以双曲线的方程为x2 5-y2 20=1.

故所求双曲线方程为x2 20-y2 5=1或x2 5-y2 20=1.

剖析 若双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程变为y=±a bx（不是y=±b ax），故应为a b=1 2，此时双曲线标准方程为y2 a2-x2 b2=1，结合a2+b2=（10 2）2可解得a2=5，b2=20，从而双曲线方程为y2 5-x2 20=1，故正确答案应为x2 20-y2 5=1或y2 5-x2 20=1.

其实这两解互为共轭双曲线方程.产生错解的原因就是不针对具体情况进行认真考虑，而只是盲目地简单互换.

4 考虑不周，导致漏解

在将方程变形时应注意范围的变化，这样才不会出错.

例4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=3 2，已知点P（0，3 2）到这个椭圆的最远距离是7，求这个椭圆的方程.

错解 依题意设椭圆方程为 x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）.

因为e2=c2 a2=a2-b2 a2=1-b2 a2=3 4，

所以b2 a2=1 4，即a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

d2=x2+（y-3 2）2

=a2（1-y2 b2）+y2-3y+9 4

=-3（y+1 2）2+4b2+3.

当y=-1 2时，d2有最大值，从而d也有最大值.

所以4b2+3=（7）2.

解得a2=4，b2=1.

于是，所求椭圆的方程为x2 4+y2=1.

剖析 尽管上面的解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的，结果正确只是碰巧而已，当y=-1 2时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y的取值范围.事实上，由于点（x，y）在椭圆上，所以-b≤y≤b，因此，在求d2的最大值时，应分类讨论如下：

若-1 2<-b<0，即0

若-b≤-1 2，即b≥1 2时，当y=-1 2时，d2取最大值， 所以由4b2+3=7得b2=1，a2=4.

于是，所求椭圆的方程为x2 4+y2=1.

综上两种情况，所求椭圆的方程为 x2 4+y2=1.

5 忽视隐含，引起增解

在解关于圆锥曲线的综合题或运用圆锥曲线性质时，要注意一些隐藏条件，避免出现增解.

例5 （人教A版（选修2-1）第62页B组第4题）已知双曲线x2-y2 2=1，过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且点A是线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.

错解1 假设存在直线l，设其方程为y-1=k（x-1）.

由y-1=k（x-1），x2-y2 2=1整理，得

（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由x1+x2=2k（k-1） k2-2得k（k-1） k2-2=1，可得k=2.

故直線l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

错解2 假设满足题设的直线l存在，并设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

所以x21-y21 2=1，x22-y22 2=1.

两式相减，得

（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2） 2=0.

因为x1+x2 2=1，y1+y2 2=1，

所以kl=y1-y2 x1-x2=2（x1+x2） y1+y2=2.

于是直线l存在，其方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

剖析 以上两种解法出错的原因都在于忽视了隐含条件“直线l与双曲线有两个交点”，故应该还有限制条件：△=4k2（k-1）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）>0，

解得k<3 2，显然符合题设的直线l不存在.

追本溯源 关于中点问题一般可以采用两种方法解决：（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系设而不解，从而简化运算解题;（2）利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解.不管应用何种方法都必须注意判别式△的限制.因为对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出直线的斜率k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.

（收稿日期：2020-02-02）