罗永军

【摘   要】中美两国的数学课程标准都非常重视“数学抽象”“逻辑推理”和“数学模型”等素养的培养。两国的教材也都重视数学素养的普遍渗透，具体的做法是：通过情境设置来渗透数学素养;通过多元表征来丰富数学素养;通过设置数学专题来促进素养发展。教材还通过强化数学问题解决的程序和步骤来培养学生的数学素养。

【关键词】数学素养;人教版《数学》;美国My Math

教材是培养学生数学素养的重要载体，它的编写依据是国家数学课程标准，因此，研究课程标准与教材中数学素养培养的相关内容就显得非常有价值。本文试图从数学素养培养的角度，对中美两国的数学课程标准以及教材做出分析与比较。

一、课程标准中的数学素养有哪些

在我国，数学课程标准是由国家教育行政部门制定和颁发的，具有很强的规范性和指导性，当下使用的是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称中国课标）。而在美国，课程标准由各州自行组织制定，这样做的优点是灵活度较大，缺点是较难保证普遍的高质量，因此美国当地一直希望能有全国统一的课程标准。2010年面向全美的《跨州共同核心数学课程标准（Common Core State Standards For Mathematics）》（以下简称CCSS课标）应运而生。

就CCSS课标来说，第一部分就是“实践标准”，也可直接译为数学素养，它置于“内容标准”之前，每一项都用“精通数学的学生能/会/表现出……”这样的句式提出学生学习数学的过程与结果，共有8项。

中国课标虽然没有直接说明什么是数学素养，但有10个核心词，其中8个和数学素养直接相关，另外2个分别是“应用意识”和“创新意识”，作为基础素养贯穿整个数学学习，如表1所示。这些核心词与“四基四能”以及之后提出的“三会”构成了数学素养发展的整体。

表1   中美数学课标中的数学素养概览

对比之后，我们可以发现中美两国的数学课程标准都非常重视“数学抽象”“逻辑推理”和“数学模型”等素养的培养。以“模型思想”为例，两国的数学课程标准对“数学模型”的描述基本一致，即从现实问题抽象出数学问题，求解后还原到现实问题中去进行验证与调整的建模过程。不同的是，中国课标采用了内涵描述的方法，CCSS课标则给出了学生在数学建模中应具有的行为描述：精通数学的学生可以运用他们掌握的数学来解决日常生活、社会和工作场所中出现的问题。在早期，这可能如列个加法等式来描述一个情境一样简单。在中年级，学生可以运用比例推理来计划学校活动或分析社区中的问题。在高年级，学生可能会使用几何来解决设计问题或使用函数来描述一个数量如何决定另外一个量，等等。虽然两者实质相同，但如果能知道学生行为的具体描述，则对于教师教学的指导性会更强。

二、教材中的数学素养如何落地

（一）把数学素养作为教材编排主线

教材是培养数学素养的重要落脚点。中国课标在“实施建议”中明确提出了教材编写建议：“教材的整体设计要体现内容领域的核心。本标准在设计思路中提出了几个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识，它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线。因此，教材应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排。”中国课标对教材编写提出了直接而又明确的要求，那么具体是如何体现的呢？在本文中我们选取了使用较广的人民教育出版社出版的《数学》（以下简称人教版）教材来分析。

CCSS课标虽然没有对教材的编写进行直接规定，但教材的出版也是需要通过州的课程委员会/教材审定委员会的审核，然后公开展示接受公众评价，修订之后才能被推荐给州的教育行政机构，最后再推荐给学区或学校，由学校决定选用。通过CCSS课标审核的教材在封面上都醒目地印刷着“CCSS”标志。我们选用的教材是My Math（以下简称MM版），主要原因是这套教材的前身是《加州数学：概念、技能和问题解决》，有较大影响。此套教材内容丰富、形式活泼，科学性和可操作性都较强，国内的不少国际学校都选用过这套教材。

（二）数学素养在教材中的普遍渗透和專题编排

数学素养在这两版教材中都是通过普遍渗透和专题编排来体现的。普遍渗透是指教材在编排小学数学知识的同时把素养嵌入呈现过程和呈现方式中，让教材从重视罗列知识的前后编排，变为不但注重知识体系，而且重视数学素养生长的过程。专题编排是指通过编排专门的主题来突出某一数学思想方法，如人教版教材中专设了“数学乐园”内容，编排了鸡兔同笼、植树问题等专题来发展模型思想、几何直观等素养。MM版教材则专设了“Problem-Solving Investigation”专题，以此来发展逻辑推理、数学抽象、几何直观等素养。

1.通过情境设置来渗透数学素养

问题情境在两版教材中都是经过精心挑选的，主要有个人情境、教育情境、职业情境、公共情境和科学情境等，体现了与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实的联系。

以“单位分数的认识”为例，两版教材都将这一内容安排在三年级学习。人教版教材以“秋游分享食品”为主题情境，如图1所示，抽取其中的分月饼情境来引入学习。类似的，MM版教材出示了分燕麦棒的问题情境，如图2所示。

丹尼和斯蒂芬分享了他的燕麦棒。他把燕麦棒分成了相等的两部分。每人分到的用什么分数表示？]

两版教材都是从认识单位分数开始引导学习分数，分别结合了生活实例和生活经验“平分”“一半”以抽象出[12]，然后再认识[13]，[14]等分数的读法、写法、意义以及解决相关的问题。这实际上是让学生经历“直观—抽象—直观”的闭环过程，即首先从生活现实引出具体的数学实例，然后对实例进行丰富与拓展，进而抽象出概念定义（MM版教材都会给出一个通俗的定义），再把数学对象返回到现实情境中。像这样从现实情境出发再回到现实情境的编排方式，用于教材中每一个知识点的学习，学生一次又一次地经历“用数学的眼光观察现实世界（抽象），用数学的思维思考现实世界（推理），用数学的语言描述现实世界（建模）”，潜移默化地提升了数学素养。

在情境的创设方面，人教版教材采用单元主题情境形成知识链的编排方法。MM版教材没有主题情境，各个知识点嵌入的情境也不尽相同，不过在每个单元的前几页都有与本单元相关的已学数学词汇、将要掌握的数学词汇、使用建议、本单元涉及的数学素养等说明，清晰醒目，值得参考。

2.通过多元表征来丰富数学素养

在具体学习数学对象和方法时，两版教材都十分注重通过多元表征来建构相关概念、关系和算法，在意义理解中提升数学素养。在表征方式上两版教材也有诸多相似之处。

如“数的认识”这一内容，常用表征方式有：具体的实物如食物、动物、植物等学生在生活中常见的物品;半具体半抽象的立方体、正方形;进一步抽象的方格图、点子图;抽象形式化的数。以“6和7的认识”为例，人教版教材引入了：①小朋友的人数;②比5多1的点子图;③小棒，搭建多边形;④计数器，拨算珠;⑤直尺，找刻度;⑤在比较大小中认识数。在此基础上，进行问题解决“鱼缸中的鱼有几条”，从基数和序数两方面促进学生对6和7的认识，多维度地提升数感。

MM版教材中“6和7的认识”这一内容是安排在Kindergarten（相当于学前班，但正常上课）进行学习的，学习对象为5周岁儿童。考虑到学生的年龄特点，教学时主要通过实物表征来帮助学生认识，表征方式比较单一。值得注意的是，MM版教材编排了整整6页来让学生“数一数，画一画”，数的东西有水果、食物、日常用品等生活中常见的物品。

教材在给出表征方式的同时实际上也推荐了学习路径。人教版教材提供的学习路径是：①一个一个地数，数人数;②以5为基数认数，数点子、搭小棒、拨算珠;③比大小，点子图，看直尺图（数轴）;④问题解决，理解数的基数与序数属性。教材期望通过这一系列的学习活动达成学生对数的意义的理解，提升数感。相较于人教版教材提供的丰富活动，MM版教材提供的学习路径只有“数（shǔ）数（shù）—画数”。笔者见到外教同事就是这么简简单单地教学，就同一表征方式让学生充分地活动，学生在整节课中的主要活动就是“数数”和“涂色块”，如图4所示，学得不亦乐乎。

除了以上举的例子，教材提供的表征方式还有很多，如在培养运算能力时，教材常常呈现小方块、数棒（以十为单位，以百为单位）、数表等，在培养空间观念、逻辑推理等素养时，教材常常呈现线段图、面积图、方格图等，这些都为发展数学素养提供了很好的教学路径支持。

3.通过设置数学专题来促进素养发展

教材在安排各个知识点的学习时普遍渗透的方法还有很多，如学习方式的普遍提示，在中美教材中都会给出动手操作、独立思考（MM版教材专设一个栏目Independent Practice）、同伴交流、合作分享等提示，期望学生能积累充分的数学活动经验，从而生成感悟、提升素养。除普遍渗透外，两版教材都设置了专题学习来促进素养发展。

人教版教材从二年级开始设置“数学广角”，小学阶段这一板块共设有例题 22个。这些专題的重点不在于学习新知识，而主要是利用直观操作等手段来引导学生进行专门的数学思想方法感悟。这些专题内容中有19个例题是针对专门的数学思想的，如植树问题的模型思想、鸽巢问题的抽屉原理、烙饼问题中的同余和策略优化、田忌赛马和沏茶问题中的运筹优化、找次品中的优化和推理、搭配中的排列组合、鸡兔同笼中的枚举假设等。另外3个是普适的数学思想方法学习：二年级下册的有序思考、推理，三年级上册的集合，六年级上册的数与形等。

MM版教材从学前开始就在每个单元中设置“Problem-Solving Investigation”专题。和人教版教材不同的是，这个专题主要是学习思维策略（Strategy），如画格子、制作表格等，都是普适性的思想方法。MM版教材中每册的问题解决策略种类并不多，大部分是重复使用，如表2所示。教材提供了不同的问题情境让学生不断地重复学习与运用这些策略，从而达到熟练掌握的程度。到了高年级，教材还安排了对同一问题使用不同策略的比较，让学生进一步体会策略之间的区别与联系。重视思维策略在解决现实问题中的应用，以此提升数学素养。这是MM版教材的一大特色。

表2   MM版教材中问题解决策略概览

[年级 策略 策略种类 K—2年级

（共32个） 画图（示意图、条形图等）、写算式、寻找规律、制作表格、猜测/检查/调整、写出过程 6种 3—5年级

（共35个） 画图（示意图、条形图等）、判断合理的答案、估计/精确结果、写数量关系、制作表格、建立模型、寻找规律/模式、使用逻辑推理、反向推导、确定多余或缺失信息、猜测/检查/调整、制定一个有组织的清单（列出有序对应式）、解决一个更简单的问题、建立/运用模型、使用四步计划、确定可能的结果 15种 ]

综上所述，中美教材的编排都相当重视数学素养的培养，可以说是知识点全渗透，策略方法再强化，覆盖了所有的学习内容。

（三）重视思维的程序与步骤，促进素养发展

除了知识点的学习外，问题解决也受到了中美教材的重视。人教版教材不仅在单元主题中、问题情境中以“你能发现什么数学问题”“你能提出数学问题并解答吗”“你还能提出什么数学问题”等方式培养学生的“四能”，更是从一年级上册开始就让学生学习并体会解决一个数学问题所要经历的步骤。类似的，MM版教材也处处让学生体会问题解决的一般步骤，不断重复，形成素养。

以小学高年级重点内容“分数乘除应用问题”为例，人教版教材将此编排在六年级上册，“分数应用问题”被分为两个阶段学习：第一阶段是结合分数乘除的运算嵌入一步计算的简单应用，第二阶段是专题学习，教材为此专门设置了“问题解决”课型。这一阶段，学习目标从“解题”转变为“解决问题”。如果仅仅是“解题”，那么学生只要学会“找类型，抓特征”就可以了。解题能不能成功，就看技巧有没有掌握。学生在解题时不需要看背景理解题意，只要找到句子中“占”“是”后面的单位1，如果单位1的数量在条件中已知就用乘法，如果未知则用除法，这套方法快捷便利。不过，这样的机械解题方式时间一长就容易被学生忘记，还有可能熟能生“笨”，很难生成素养。

教材设置了问题解决，就要让学生首先关注问题本身，然后去发现、梳理问题中各要素之间的联系，进而抽象为数学模型从而解决问题。技巧不是不重要，而是要让学生自己悟得，如此才能生长为素养。那么，教材是如何编排的呢？除了上文提到的数学方法策略之外，两版教材都特别提供了问题解决的程序和步骤，如表3所示。

表3   中美教材中有关问题解决的程序和步骤举例

[问题步骤 人教版教材（六上：P13-14）

这个大棚共480m2，其中一半种各种萝卜，红萝卜地的面积占整块萝卜地的[14]。红萝卜地有多少平方米？ MM版教材（五年级：P777-778）

策略学习（画图）：简周末去参观水族馆，他看到了35种鱼，占总数的[15]。水族馆有鱼多少种？ 1 阅读与理解

整个大棚的面积是

萝卜地的面积占整个大棚面积的

红萝卜地的面积占萝卜地面积的

要求的是          的面积 理解

你知道哪些事實？

简看到了          种鱼相当于总数的

你需要找到什么？

水族馆里共有          种鱼 2 分析与解答

折纸或画图有助于我们分析思考

列式解答：①480×[12]=240   240×[14]=60

方法2：480×[12]×[14]=60 计划

我将用画图的方法解决问题。

3 解决

这个模型被[15]分成五份。因为每份代表35种鱼，所以总共有35×5，也就是水族馆共有       种鱼 4 回顾与反思

用你喜欢的方法检验一下上面答案的合理性 检查

我的答案合理吗？

÷5=35 ]

从上表中我们可以看到，中美教材中的四个步骤基本相同，都是借鉴了波利亚的解题步骤。整个步骤从理解题意、拟订计划、分析解答再把结果放回问题中检查，形成了一个闭环。人教版教材对传统的应用题教学都作了如此改编，MM版教材则在整个小学阶段的每一单元末放置这项专题，不断重复。

解决问题的程序和步骤看上去不起眼，为什么中美教材都这么重视？一方面它是让学生更关注问题本身，而不是去借用“记题型”“套题型”的思维脚手架;另一方面是希望学生能借此形成一种理性思维习惯，以应用在除数学之外更广阔的场景中，成为重要的数学素养。

综上，教材把素养发展作为编排的出发点和重要目标，处处渗透，时时着墨，下了很多功夫。特色编排之处还有很多，本文只是选取了其中的一些角度进行透视，目的在于探讨教材对学生数学素养的促进之处，蜻蜓点水，难免有诸多不当之处，权当抛砖引玉，希望能得到更多的讨论。

参考文献：

[1]范文贵，李伟华.美国《州共同核心数学标准》解读[J].天津师范大学学报（基础教育），2012（2）：39-42.

[2] 史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）：35-37.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 （2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]李士锜.熟能生笨吗？——再谈“熟能生巧”问题[J].数学教育学报，1999（3）：14-17.

（浙江省杭州市上城区教育学院附属小学   310008）