马琦

[摘要]数学的悟性是人们在数学思维活动中，凭借类比、想象等手段，触发灵感、引发领会，继而解决疑难的一种能力悟是人对事物的分析和理解能力学生领悟能力培养对提高数学思维能力、提高数学课堂教学质量作用明显.

[关键词]悟性;能力;诱思;类比;联想

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（2020）17-0021-03

《现代汉语词典》将“悟性”解释为“作为主体的人对事物的分析和理解能力”.在数学学科，“悟性”包括人对数理知识的认知、洞察、类比、思辨、理解等能力.其中理解力、分析力为悟性的关键核心.因每个学生的成长背景、知识积累、智力发育不同，其悟性高低也各有不同.悟性高的学生能快速抓住问题的要素和条件，且能举一反三、触类旁通，达到事半功倍的效果.悟性低的学生，对数理的隐含条件、数理逻辑难以厘清，需要教师去引导、培养和发掘.事实上，学生出现解题困难关键是他们对数学知识点缺乏“悟性”，即认识偏差、理解不到位等.就初中数学学科教学而言，悟性是人们在数学活动中，对研究的对象，凭借类比、迁移、想象等手段，触发灵感、引发领会，继而解决疑难的一种思维能力，而且这种能力有利于发展学生的创造性思维，提高学生的数学素养.下面就怎样引领学生走进数学“悟”的世界，提升学生的数学学习能力谈自己一些粗浅的认识.

一、“生活化”诱思启悟

所谓数学“生活化”情境，是指在数学教学中从学生生活背景和生活经验出发，把教学内容“生活化”，把生活中遇到的问题“数学化”，实现数学知识与生活知识的融通.这样源于生活的数学教学，避免了抽象的说教，教学能贴近学生生活实际，有利于激发学生的学习兴趣，启发学生的“悟性”.孔子曾经说过：“小疑小悟，大疑大悟.”可见，“疑”是“悟”的动因和起点.问题是思维的出发点.在教学中引入“生活化”的情境，创设诱人的疑问、扣人心弦的悬念，能激发学生的求知欲望，促使他们去积极思考、主动探索，在释疑过程中，逐步进入“悟”的境界，在新课导入时，可分步设疑，环环相扣，由浅入深，让学生逐渐领悟新知识.

[例1]讲解三角形全等判定定理AAS时，提出问题：

（1）调皮的小明用纸板挡住了两个三角形的饼干一部分（如图1和图2），你能画出这两个三角形的饼干吗？每个人面出的三角形饼干都一样吗？

（2）粗心的小明不小心将一块三角形玻璃摸具（如图3）打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？

由生活情境人手，让学生动手操作，想想有没有办法把原来的三角形重新画出来呢.学生产生了疑问，然后从问题出发得出判定定理.这样做，引起了学生的兴趣，提高了学生动手、动脑的能力，从而悟出三角形全等判定定理ASA.数学教学的最终日的就是回到生活，为生活服务.在上面的解析中，教师将数学通过“饼干”“玻璃摸具”而不是强调“三角形”，让学生看似在解决饼干和三角形玻璃的生活化问题，实际上是完成三角形全等任务.这样，“生活化”情境可以把学生学习内容植入到生活中，也可以将学到的知识应用到实际生活问题的解决上来，体现了学习生活“知行合一”.

比如，在《三角形的相似》教学时，教师应该充分利用学生的生活经验，从学生已有的生活经验和数学的实际出发，对教材内容、没计进行生活化处理.教师可以从学生生活中熟悉的篮球架、红领巾、自行车车架、桥架等引出三角形，再让学生通过“推拉”等实践活动认识三角形的相似性，并对其“放大”或“缩小”来论证其相似和全等.并运用它来解决一些实际生活问题.如用“三角形的稳定性”，给椅子加上木档子形成三角形，从而使椅子稳当起来.这样让学生感到生活中处处有数学，体会到了数学与生活的联系.

教师要从多方面“找”生活素材，让学生到生活中“找数学”，真切感受“数学来源于生活”.事实上，所有的学生问题的解决都可以用“生活化”的情境完成，用生活中的实例来进行求证，从而给学生一种更有生活气息、更有兴趣的体验，使他们的“悟性”建立在自身的体验和实践中.

二、“多元化”发散顿悟

学生在学习过程中，由于对知识的理解掌握不够，在应用数学知识的过程中，往往从单一角度观察问题、解决问题，这时就会发生一些“漏解”的现象.

[例2]如圖4，已知直线a和直线外一条线段BC，在直线a上确定一点P，使△BCP为以B为底角顶点的等腰三角形.（尺规作图，保留作图痕迹）

许多学生完成此题时，往往只作出一个点P就结束了，不能很好地理解当△BCP为以B为底角顶点的等腰三角形时，需要分成两种情况分析.（1）△BCP是以C为顶角顶点的等腰三角形（CB=CP），此时我们需以C为网心，CB长为半径画圆弧，网弧与直线a的交点就是P点.（2）△BCP是以P为顶角顶点的等腰三角形（PB=PC），此时我们需画BC的垂直平分线，垂直平分线与直线a的交点就是P.

这种“漏解”现象，其实就是学生思维单一化的表现，往往会束缚思维的拓展，导致学生数学悟性受阻，甚至限制学生解题能力的提高.因此，创设“多元化”思维情境，多角度转换显得尤为重要.

“多元化”思维既可以跳离原定思维轨迹，挖掘和翻新出更多的数学信息，也可以接通多方位的释疑思路，顿悟出题设的实质.在教学中加强一题多解、一问多答的训练，沟通代数和几何，厘清它们之间的联系，培养学生多角度、多方位探求问题的习惯，促进思维多层次、全方位发散，是发散中顿悟出解题的关键.这种以实践探究为载体，“多元化”情境方式，有利于学生数学悟性的提高，引领他们的思维走向更广阔的时空.

[例3]两边和任一边上的中线对应相等的两个三角形全等吗？

学生看到问题后面出了各种图形，但很少有学生能概括全面.这时我们就需要帮助学生多元化归纳整理出各种情况.

第一种：如图6、图7，AB=DE，AC=DF，BC和EH分别是△ABC和△DEF的中线，且BG=EH，求证：△ABC=△DEF.

这种情况讨论的是当两边和其中一条相等的边上的中线对应相等的两个三角形是否全等.完成这种情况，不需要添加任何辅助线，只要先证明△ABG≌△DEH得到∠A=∠B，就可以完成△ABC≌△DEF的证明了.

第二种：如图8、图9，AB=DE，AC=DF，AP和DQ分别是△ABC和△DEF的中线，且AP=DQ，求证：△ABC≌△DEF.

这种情况讨论的是当两边和其中一条不相等的边上的中线对应相等的两个三角形是否全等.

我们需要通过倍长中线法构造全等的三角形（△ABM≌△DEN）后，再去证明△ABC≌△DEF.

完成例题后，我们还可以利用变式进行一题多变，培养学生的发散性思维能力，增强学生的创新意识和创新能力，发展学生逻辑推理的核心素养.

变式1：如果把原题中的“任一边上的中线对应相等”改为“任一个内角的角平分线对应相等”，那么这两个三角形还全等吗？

变式2：如果把原题中的“任一边上的中线对应相等”改为“任一边上的高对应相等”，那么这两个三角形还全等吗？

通过本例题的探究与变式，强化以知识经验为基础，以问题为载体，启发学生判断、推理、建构等“多元化”思维，并在问题的解决过程中，让学生更多领略源题的类比、拓展、延伸，还要让学生在自我反思评价的过程中，加深对错误的认识，培养学生思维的批判性和严谨性，从而激活思维，发展素养，实现顿悟.学生由此悟出的结论才理解得透彻，掌握得牢固.

三、类比联想促领悟

类比来源于相似，相似的对象在某些方面彼此一致，相互聯系、相互渗透.类比、联想比比皆是，不同的命题、定理之间类比，还有公式、方法之间相似类比，因而在数学中重视创设类比联想的情境，就可以调动学生大脑中贮存的相似问题的解题策略，诱发悟性，学生获悟后通过构思设计，最终获得准确而清晰的解题途径和方法.类比联想过程就是悟性的产生、运作的过程，也是思维逐步深化的过程.这样不仅可以区分两者的不同点，还可以让学生领悟出知识的真正内涵，体会转化数学思想.

[例4]如图12，已知△ABC，∠BAC=90°. AB=AC.BD⊥l.CE⊥l.问：BD、CE、DE有何数量关系？

变式1：如图13，已知△ABC，∠BAC=∠BDA=∠AEC.AB=AC.BD、CE、DE有何数量关系？

变式2：如图14，已知△ABC.∠BAC= ∠BDA=∠AEC.AB=AC，BD、CE、DE有何数量关系？

变式3：如图15，已知△ABC.∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥I，CE⊥I，BD、CE、DE有何数量关系？

变式4：如图16，已知△ABC，∠BAC= ∠BDF=∠DEC.AB=AC，BD、CE、DE有何数量关系？

变式5：如图17，已知△ABC，∠BAC=∠BDF=∠DEC.AB=AC.BD、CE、DE有何数量关系？

此题既有∠BAC度数的变化，从直角变成锐角再变成钝角，又有直线l与△ABC的位置变化.我们要培养学生细心观察每个细节的习惯，发现△ABD≌△CAE始终成立，从而研究BD、CE、DE的数量关系就变得简单了.通过变式，让学生归纳类比获得猜想，弄清本质属性，提高想象力，促进数学悟性的发展.通过上述例题，我们知道平时需引导学生仔细观察，比较问题的相似性和内在联系，由表及里抓本质，实现知识的迁移.这样利用归纳、类比等手段，引发学生的猜想，可使学生跃过常规思维步骤，直接感受和领悟问题的实质，发展学生的数学抽象、直观想象、数学建模等核心素养.

在培养学生数学悟性的过程中，还要教会学生“悟”的方法：善思、观察、回味、反省.只有这样，数学悟性才能稳步发展，形成良好的思维品质.培养数学悟性，发展数学核心素养，既要潜移默化，又需持之以恒的训练，更要不断探索.我们要让学生在课堂中不仅学习知识，还要学习思想方法，引导学生更好地学.

[参考文献]

[1]漆定鑫“问题解决”的课堂教学[J].数学教学，1998（6）：9-10

[2]柳斌，钟善基中国著名特级教师教学思想录中学数学卷[M].南京：江苏教育出版社，1996

[3]杨雪男中学生数学发散思维能力研究[D].南京：南京师范大学，2006

[4]谭玉华真实情境驱动的高中数学建模教学[D].上海：华东师范大学，2004

（责任编辑 黄桂坚）