付波， 谢安桓， 赵春宇， 周华

(1.浙江大学 流体动力与机电系统国家重点实验室，浙江 杭州 310027；2.之江实验室，浙江 杭州 311121)

随机振动是自然界较为常见的现象，如大气湍流对飞机的影响、海浪波动对船舶的冲击、地震等，这些振动环境对设备的正常工作影响很大，通过振动环境模拟，可在设备正式应用前对其可靠性和疲劳寿命进行考察，提前预防可能出现的失效问题. 电液伺服系统由于其控制精度高、响应速度快、承载能力强等特点，而可作为振动设备模拟振动环境.

随机振动包括随机波形再现和功率谱再现，前者可在时域上再现随机波形，后者可在短时间内同时激发出具有特定PSD的宽频带随机振动，能模拟连续平稳的随机信号，更为常见. 因此围绕要求的参考加速度PSD，本文研究了电液伺服系统的随机振动控制特性.

电液伺服振动控制系统一般由伺服控制器和振动控制器组成. 伺服控制常采用三参量控制[1]，通过极点配置拓展系统频宽. 由于系统广泛存在非线性、频宽不高等问题，固定增益控制器不能较好追踪参考输入信号，因此关于非线性补偿研究得到人们重视. 其补偿方法主要有最小控制合成法[2]、自适应逆控制[3]、SDRE技术[4]等. 线性二次调节器(linear quadratic regulator，LQR)在汽车控制等领域得到了广泛的应用[5]，基于其原理发展的SDRE技术[6]具有简洁设计流程，可使系统获得较好稳定性和频响特性. 振动控制器则在频域上对信号进行均衡修正，弥补伺服控制的不足. 均衡控制方法主要有线性均衡算法[7]、X滤波LMS算法[8]、基于Kalman滤波自适应控制算法等[9]. 后两者均衡算法虽有助于减小噪声干扰、提高均衡速率，但需考虑系统稳定性，且实现较复杂. 因此本文仅采用较为通用线性均衡算法，并结合SDRE技术来再现参考加速度PSD.

1 SDRE技术

假设全状态可观非线性系统表达为

y=Cx(t).

(1)

无限时间性能泛函J定义为

(2)

式中:权矩阵Q、R为正定矩阵:e(t)为误差向量，有e(t)=yr(t)-y(t);yr(t)为参考信号. SDRE技术则求解使性能泛函J最小的优化控制输入u(t)，流程如下[9]:

① 将系统表达为含状态依赖系数(state-dependent coefficient, SDC)矩阵形式

(3)

② 在线求解SDRE

P(x)A(x)+AT(x)P(x)+CTQC-

P(x)B(x)R-1BT(x)P(x)=0,

(4)

式中P(x)为Riccati方程唯一对称正定解.

③ 计算优化控制输入

u(x)=R-1(x)BT(x)[g(x)-P(x)x].

(5)

其中反馈调节器K(x)=R-1BT(x)P(x)，前馈滤波器G=R-1BT(x)g(x)，且g(x)满足

[P(x)B(x)R-1BT(x)-AT(x)]g(x)=CTQ(x)yr.

(6)

2 数学模型

电液伺服系统中广泛存在压力流量特性、伺服阀控制死区等非线性因素，为准确实现5～500 Hz频宽范围加速度随机振动控制，建立系统非线性模型.

液压缸和负载的力平衡方程如下(忽略摩擦)：

(7)

式中:Ap为液压缸活塞有效面积；pL为系统工作压力；mt为质量负载；xp为液压缸活塞位置；Bp为阻尼负载；K为弹性负载.

液压缸流量连续性方程为

(8)

式中:qL为伺服阀流量；xv为伺服阀阀芯位移；sgn(x)为取x符号函数；DZ(xv)为死区函数，表达式为

(9)

式中:Cd为流量系数；W为面积梯度；xvn和xvp为死区范围；ρ为流体密度；ps为供油压力.

伺服阀动态特性方程为

(10)

式中:ωv为伺服阀固有频率；ξ为伺服阀阻尼比；Kxv为伺服阀增益；Ka为放大器增益；u为伺服阀输入电压.

由式(7)～(10)，将系统表示为含SDC矩阵形式的状态空间方程：

y=Cx.

(11)

C为输出矩阵，C=[10000];

A(x)为状态矩阵，

其中状态依赖Δ表达为

本文采用Hamiltonian矩阵Schur分解法[10]来实时求解代数Riccati方程，且Matlab中有相应工具函数“care”. 假设矩阵P(x)、g、Q和R分别表示为

Q=q,R=1.

由求解的P(x)可得优化输入中反馈调节器K(x)为

由式(4)和(6)可得前馈滤波器

综上优化控制输入u(t)为

(12)

3 系统动态特性分析

在Simulink中建立系统仿真模型，如图1所示，伺服阀、液压缸、负载的主要参数设置如表1所示.

表1 仿真模型主要参数

对权矩阵Q中权系数q取不同值，将低量级高斯白噪声信号作为输入信号，通过自动步长LMS法[11]辨识系统传递函数，从而获得幅频宽(-3 dB)大小(如表2所示)，由于非线性因素，每次辨识的幅频宽存在差异，但整体上随着q的增加呈增大趋势. 但当权系数q≥25×106时，阶跃响应存在超调，为使系统稳定，q取q≤16×106，此时系统幅频宽较高可达153 Hz.

表2 SDRE权系数对系统幅频宽影响

Tab.2 Influence of SDRE weight coefficient on system amplitude bandwidth

权系数q幅频宽(-3 dB)/Hz9×106109～12916×106130～15325×106151～169

4 随机振动控制仿真分析

为弥补伺服控制的不足，准确再现参考PSD，引入PSD均衡方法，其均衡公式为

基于AR谱模型估计法[12]，绘制不同条件下PSD稳态波动情况，权系数q=9×106如图2所示，权系数q=16×106如图3所示.

由图2和图3可知，经过有限次均衡后均可以准确再现参考PSD，除了低频10Hz以下，PSD稳态波动范围在±1 dB以内. 统计不同条件下PSD稳态波动时均衡次数，如表3所示，可知在系统稳定条件下，增大反馈增益和权系数，均可以减少响应PSD稳定波动时的均衡次数.

表3 PSD稳定波动时均衡次数

5 结束语

本文将SDRE技术与PSD均衡方法结合用于电液伺服随机振动控制系统. 建立系统非线性模型，在线求解SDRE获得系统变增益状态反馈，分析反馈设计系统动态特性时发现，SDRE权系数增大，系统幅频宽呈增大趋势，但权系数过大会导致系统阶跃响应超调，本文合适权系数小于等于16×106，系统幅频宽较高可达153 Hz. 同时结合PSD均衡方法，选取不同SDRE权系数和PSD均衡反馈增益，通过仿真分析可知，经过有限次均衡，均可以准确再现参考PSD，除了低频10 Hz以下，PSD稳定波动范围在±1 dB以内，且增大反馈增益和权系数可以减少PSD稳定波动时均衡次数.