喻秋生

(广东省深圳实验学校高中部 518055)

“设而不求”思想是数学解题中一种很有用的解题方法.所谓“设而不求”，顾名思义就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体地去直接解出变量的值，而是利用某种关系去表示变量间的联系.采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果.

我们知道，高中数学常用到“设而不求”思想的是解析几何,它能使很多解析几何问题得到简化.同样，“设而不求”的思想方法在处理函数问题中也有很重要的作用，下面谈谈“设而不求”思想方法在函数中的应用.

一、在函数最值问题中的应用

在研究函数最值问题时，有时会遇到给出的函数存在最值，但求不出或很难求出最值，这时可以应用“设而不求”思想，利用函数性质进行处理.

因此，假设函数f(x)的最大值为f(a)，则f(x)的最小值为f(1-a)，

∴M+m=-2.

二、在导函数隐零点问题中的应用

当导函数存在零点，但零点式子非常繁琐或无法求解时，可考虑虚设零点x0，再对零点进行合理的变形与代换，将超越式化为普通式，从而达到化简的目的.

例2 设f(x)=ex-x-2，若x>0时，不等式(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立，求整数k的最大值.

令h(x)=ex-x-2(x>0)，则h′(x)=ex-1>0，

h(x)在(0,+)单调递增，且h(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0，

所以h(x)存在唯一的零点x0∈(1,2)，由h(x0)=0⟹ex0=x0+2，

易得g(x)在(0,x0)单调递减，在(x0,+)单调递增，所以将ex0=x0+2代入，得g(x)min=x0+1∈(2,3)，

又k

三、在证明函数不等式中的应用

函数不等式的证明，一般是转化为最值与0比较，当函数的最值存在，但求不出具体的值时，可先用变量表示，再证明不等式成立.

例3 已知f(x)=e2x-m-ln(2x+1)，当m≤1时，求证f(x)>0恒成立.

分析要证f(x)>0恒成立，即证f(x)的最小值大于0.由于f′(x)的零点不能直接求出，则可通过设零点为x0，用x0表示最小值，再证明最小值大于0.

由(*)式两边取对数，得ln(2x0+1)=m-2x0，………(**).

将(*)、(**)代入，得

所以，不等式f(x)>0恒成立.

四、在隐函数问题中的应用

在处理导数问题时，有时会遇到没有给出函数的表达式，但给出函数满足的条件，根据条件又不能直接求出函数解析式，这时可考虑“设而不求”这种解题方法.

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

∵当x>2时，h′(x)>0，当0

∴当x>0时，h(x)≥h(2).

总之,“设而不求”这种思想就像一座桥梁,把未知与已知巧妙地联系在一起了，我们平时解题时如果遇到了一些不能回避的未知量,而题目所求的问题并不需要求出该未知量时,就可以尝试这种“设而不求”的方法,通过简化求解过程，使问题迎刃而解.