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直线与圆的位置关系中的二变元问题的最大值问题探析

2020-06-06

数理化解题研究 2020年16期
关键词:变元最值定点

庄 顺

(福建省厦门第六中学 361000)

在近年的高考题、自主招生题、竞赛题或模拟题中,经常会有求解涉及双变元或多变元问题中的最值或取值范围问题.此类问题由于变元较多,切入点没有太大规律,往往导致难度较大,且比较难加以突破.也正是由于变元较多,此类问题破解的思维方式多变,切入点众多,方法有时也多样.

【高考真题】(2018·北京理·7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

思维角度1:三角函数法

点评把点到直线的距离问题转化为含有二元函数θ、m的最值问题,分别结合三角函数、二次函数的性质,依次来转化,进而得以确定相应的最值问题.在这里的解决关键是对二元函数θ、m没有直接关系的条件下,分别有针对性地处理,从而得以转化与应用.

思维角度2:数形结合法

分析根据题条件确定点P的轨迹与直线恒过定点A(2,0)的性质,先让直线x-my-2=0保持“静止”时确定点P到直线的距离的最大值问题,再进一步让直线x-my-2=0进行“转动”,通过数形结合来确定最值即可.

解法2 由于点P(cosθ,sinθ),则知点P的轨迹是单位圆O:x2+y2=1,而直线x-my-2=0恒过定点A(2,0)的动直线,如图所示.先让直线x-my-2=0保持“静止”,过O垂直于直线x-my-2=0的直线交单位圆O:x2+y2=1于点Q,交直线x-my-2=0于点B,而单位圆O:x2+y2=1与x轴的负半轴交于点D.根据平面几何知识可知点P到直线x-my-2=0的距离的最大值为点Q到直线x-my-2=0的距离1+|OB|,接下来,再让直线x-my-2=0进行“转动”,数形结合可知1+|OB|≤1+|OA|,所以当点B与点A重合,点Q与点D重合时,1+|OB|的最大值为3.所以当直线x-my-2=0的方程为x=2(此时m=0),且点P为点D(-1,0)时,d的最大值为|AD|=3.故选择答案C.

点评根据单位圆与过定点的直线束之间的关系,依次在保持直线“静止”时让点P在单位圆上运动,再让直线“转动”起来,通过数形结合并利用平面几何的知识来转化与应用,进而数形结合得以确定相应的二元问题的最值.

其实,当我们破解完一道数学问题后,要加以不断总结,不断领悟反思,进而可以有效达到多角度切入,并能有效进行深度挖掘,进行有效深度学习,从而真正达到触类旁通、一题多解的效果,有助于培养数学科学的思维习惯,良好的核心素养以及能力素质.

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