李 斌，王大国

常规三轴压缩条件下的负乘方型岩石强度准则

李 斌，王大国

(西南科技大学 环境与资源学院，四川 绵阳 621010)

为较高精度地评估岩石在不同围压条件下的三轴强度，根据岩石破坏时的主应力差与围压呈上凸的非线性特征，提出负乘方型强度准则。通过将该准则与Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则进行精度比较，结果表明，乘方型准则参数对围压变化具有较低的敏感度，且该准则可以更高精度地评估岩石三轴强度。应用公开发表文献中多种不同类型岩石的三轴试验数据，对负乘方型强度准则的适用性进行验证，结果显示，在不同围压条件下，该准则评估的岩石三轴强度与试验强度均非常一致，说明负乘方型准则对评估不同类型岩石的三轴强度具有较好的适用性；同时，通过与目前岩石力学界认为较好的指数型准则的比较，得到两种准则评估的岩石三轴强度平均相对误差MRE均在5%以内，其中负乘方型准则具有更高的精度。该准则可为深部岩石工程开挖与支护等设计提供参考。

三轴强度；强度准则；非线性；指数型准则；负乘方型准则

岩石强度准则作为岩石工程设计和决策的重要基础与科学依据，一直是岩石力学界研究的基本问题之一[1-3]。Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则是目前岩石工程领域应用最广泛的两种强度准则，前者作为一种线性准则，通常过高地评估岩石屈服时的强度[4-5]；后者虽然是一个非线性准则，但仍具有较强的线性特征，其仅适用于围压低于岩石单轴抗压强度[6]的情况。因此，这两种传统强度准则难以表征高围压下岩石强度的非线性特征。

近年来，国内外相关学者逐渐重视对非线性岩石强度准则的研究，孔志鹏等[7]根据双2强度理论，提出一种新的非线性三参数强度准则；昝月稳等[8]基于双剪模型和Hoek-Brown准则，建立广义非线性统一强度理论；You Mingqing[9]基于围压对岩石强度的影响，构造出三参数的岩石指数型强度准则； M. Singh等[10]根据132组岩石三轴试验数据拟合结果，提出一种简单的抛物线型强度准则；同时，在Mohr-Coulomb准则的基础上，通过添加一个修正项提出非线性的Mohr-Coulomb准则。

笔者根据岩石在不同围压下的强度特征，提出一种新的非线性岩石强度准则。同时，将该准则与Mohr-Coulomb准则和Hoek- Brown准则进行比较，对其评估岩石三轴强度的精度进行验证，应用公开发表文献中不同类型岩石的三轴试验数据对该准则的适用性加以分析，并将该准则与目前岩石力学界认为较好的指数型准则进行比较，来进一步检验其评估岩石三轴强度的精度水平。

1 准则表达式

大量岩石常规三轴压缩破坏试验研究成果[11-14]表明，岩石破坏时的主应力差(1–3)与围压3的关系呈现非线性。在(1–3)–3坐标系下，该非线性呈上凸趋势，如图1所示，在围压较低时该非线性较弱，可以近似为线性；随着围压的增加，非线性关系明显增强。笔者在之前的研究中[15]，根据岩石临界状态理论[16]提出岩石临界状态围压的概念，并认为当围压增加到该临界值时，岩石破坏时的主应力差将达到最大值，如果围压再继续增加，该值将保持不变，该主应力差最大值被定义为临界状态偏应力。图1中，为临界状态偏应力，c为岩石单轴抗压强度。

图1 不同围压下岩石三轴强度曲线

岩石临界状态理论可以较好地描述高围压下岩石破坏时的主应力差与围压的非线性关系，但该理论是一个经验假设[16]，目前尚未有明确的岩石常规三轴压缩破坏试验数据验证该临界状态的真实存在；同时，临界状态理论假定岩石破坏时的主应力差在围压增加到临界状态围压后，其值将保持不变，导致通过应用该理论改进的强度准则的数学表达式为分段函数[17]，形式上较为复杂。鉴于此，本文认为岩石破坏时的主应力差与围压的非线性关系，随着围压的不断增加，将会逐渐逼近岩石临界状态，即图1中的曲线将会逐渐逼近(1–3)=。

通过观察图1中岩石破坏时的主应力差与围压的非线性关系曲线，以及在高围压下曲线逐渐逼近临界状态的趋势，发现该曲线逼近(1–3)=的差值随围压3的增加逐渐减小。同时，考虑到针对不同种类的岩石，差值减小的趋势可能不同，且为了保证量纲一致，不妨将构造成以下关于3的函数式：

式中：和为无量纲参数，参数的量纲与应力量纲相同，且3者均为正值。

图1中曲线表达式可写为：

当3=0时，1–3=c，将其代入式(2)可得：

将式(3)代入式(2)可得：

鉴于式(4)将(1–3)表征为关于3的负乘方型函数，本文将其称为岩石负乘方型强度准则(以下简称负乘方型准则)。

2 准则的精度验证

为验证负乘方型准则的非线性特征，以及其是否能够较高精度地评估岩石在不同围压条件下的三轴强度，将其与目前岩土工程领域界广泛应用的两种传统强度准则(Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则)进行对比研究。基于客观原则，选取文献[6]中Indiana石灰岩11组三轴试验结果为数据样本(表1)，对3个准则评估该岩石三轴强度的精度进行比较，比较内容主要包括两个方面：①准则参数对围压的敏感性分析；②准则评估岩石三轴强度的准确度分析。

表1 Indiana石灰岩三轴试验数据

Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则用主应力分别表示为：

Mohr-Coulomb准则

Hoek-Brown准则

式中：为黏聚力；为内摩擦角；为与岩石类型有关的常数。式(6)为Hoek-Brown准则针对完整岩石的数学表达式。

2.1 准则参数的敏感性分析

岩石强度准则参数通常采用对三轴试验数据拟合的方式来获取。一般而言，选取不同组数的三轴试验数据拟合得到的准则参数会存在一定程度的差异，这种差异反映了准则参数随围压变化的波动性，差异越大则该波动就越大，说明准则参数对围压的敏感性就越大，准则评估的岩石三轴强度与试验强度的偏差可能就越大。

从低围压到高围压，分别考虑表1中前2组、前3组直至全部的11组Indiana石灰岩三轴试验数据，将其分别带入Mohr-Coulomb准则公式(5)、Hoek-Brown准则公式(6)和负乘方型准则公式(4)，并在1stOpt程序中采用标准Levenberg-Marquardt法和通用全局优化法来确定最适合这3种准则的参数。得到10种拟合条件下3种准则最适合的参数，见表2，为消除各准则参数量纲的影响，采用变异系数CV来表征各准则参数随围压变化的波动性，即CV值越大表示准则参数对围压的敏感性越大。

表2 3种准则针对Indiana石灰岩最适合参数

考虑到单轴抗压强度的重要意义，表2中Mohr- Coulomb准则加入单轴抗压强度c列，其中c= 2·cos/(1–sin)。

在表2中可以较直观地观察到，随着选取拟合条件的不同，Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则的单轴抗压强度c随围压变化的波动性较大，变异系数CV值分别为0.15和0.16，而负乘方型准则的c没有波动，CV值为0；3个准则中其他参数随围压变化均呈现不同程度的波动，Mohr-Coulomb准则参数和的CV值分别为0.29和0.41，Hoek- Brown准则参数的CV值为0.54，负乘方型准则参数、和的CV值分别为0.09、0.47和0.13。

通过上述分析可知，负乘方型准则参数和c对围压变化具有较低的敏感度，尤其是参数c基本保持不变，说明该准则评估岩石单轴抗压强度和临界状态偏应力具有较高的精度；参数和的波动性相对较大，但这两个参数将与参数和c共同决定图1中差值，从而控制准则的精度。

2.2 准则准确度分析

为验证负乘方型准则评估岩石三轴强度的准确度，将其与Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则进行比较，具体过程为：①假定表1中仅前4组试验数据可用，拟合得到各准则参数(即表2中前4组试验数据拟合条件下对应的参数)，以及各准则具体的数学表达式；②根据得到的3种准则数学表达式，评估Indiana石灰岩在不同围压下的强度；③将准则评估的岩石三轴强度与试验强度进行对比。为描述准则评估的岩石三轴强度与试验强度的差异，选取相对误差RE和平均相对误差MRE作为表征指标，量化比较各准则评估岩石三轴强度的准确度。根据相对误差和平均相对误差的意义，RE和MRE在本文中应用的具体计算表达式为：

式中：1itest为岩石在第组三轴试验时的试验强度；1ieval为对应的第组三轴试验围压3下，准则评估的岩石三轴强度；为岩石三轴试验的组数，针对表1中Indiana石灰岩，=11。

通过上述方法，得到3种准则针对Indiana石灰岩的具体数学表示为：

Mohr-Coulomb准则

Hoek-Brown准则

负乘方型准则

利用式(8)—式(10)这3种准则公式评估Indiana石灰岩在不同围压下的三轴强度，与试验强度进行对比，并根据式(7)计算相对误差RE和平均相对误差MRE，得到的RE结果见表3，且Mohr- Coulomb准则、Hoek-Brown准则和负乘方型准则的MRE分别为15.78%、12.88%和3.50%。

为更加形象直观地对比3种准则评估的Indiana石灰岩三轴强度与试验强度的差异，将表3做成图的形式，如图2所示。

表3 3种准则对Indiana石灰岩三轴强度的评估结果

注：表中1eval为不同准则预测的岩石三轴强度值。

图2 3种准则评估Indiana石灰岩三轴强度与试验强度对比

从图2可以直观地观察到，围压较低情况下，3种准则评估的Indiana石灰岩三轴强度与试验强度基本一致；随着围压的增加，3种准则均过高地评估岩石三轴强度，但负乘方型准则评估的偏差值明显低于另外两种准则。比较表3中数据可以发现，负乘方型准则对每个具体围压下岩石三轴强度的评估相对误差RE均低于另外两种准则；其平均相对误差MRE也低于Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则。

上述分析表明，负乘方型准则可以较高精度地评估岩石三轴强度，其精度高于Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则。

3 负乘方型准则的适用性验证

为验证本文提出的负乘方型准则具有较好的适用性，检验其能够高精度地评估其他种类岩石的三轴强度，基于客观原则，采用已公开发表文献中大量的岩石三轴试验数据进行验证。具体的岩石有Solnhofen石灰岩[18]、Bunt砂岩[19]、Carrara大理石[20]、Daye大理石[21]、Dunham白云石[18]、Jinping砂岩[9]、Nanyang大理石[22]、Yamaguchi大理石[18]、Vosges砂岩[23]和Mizuho粗面岩[24]，三轴试验数据见表4。

表4 已公开发表文献中岩石三轴试验数据

具体验证过程为：将某种岩石的全部三轴试验数据代入负乘方型准则式(4)，在1stOpt程序中采用标准Levenberg-Marquardt法和通用全局优化法确定负乘方型准则参数、c、和，得到具体的准则数学表达式，并用其评估该种岩石在不同围压下的强度。

按照上述验证过程，在1stOpt程序中拟合得到负乘方型准则针对表4中10种岩石的具体参数值以及准则表达式，见表5。

根据表5中具体的负乘方型准则表达式即可评估表4中10种岩石在不同围压下的三轴强度，得到岩石评估强度与试验强度的对比，如图3所示，并根据式(7)计算二者的平均相对误差MRE，具体结果见表6。

表5 负乘方型准则针对10种岩石的参数及表达式

续表

表6 负乘方型准则评估10种岩石三轴强度的平均相对误差

从以上验证结果可以较直观地观察到，负乘方型准则对表4中10种岩石评估的三轴强度曲线与试验强度曲线总体基本一致，重合度较高，平均相对误差MRE为0.24%~2.17%，均在5%以内。

通过应用文献中不同种类岩石的三轴试验数据对负乘方型准则适用性验证表明，该准则具有较好的适用性，可以较高精度地评估岩石在不同围压条件下的三轴强度。

4 与其他准则的比较

岩石强度理论的发展已有逾百年历史，国内外学者已提出多种不同形式的岩石强度准则，如统一强度准则、指数型准则、幂函数型Mohr准则等。尤明庆[25]通过对岩石工程界常用的十几种岩石强度准则的比较，指出其提出的指数型准则评估的岩石强度与岩石试验强度的偏差最小。鉴于此，为进一步了解本文提出的负乘方型准则的精度水平，将其与指数型准则进行评估岩石三轴强度的精度比较。

指数型强度准则的数学表示为：

式中：0为岩石单轴抗压强度；∞为岩石极限主应力差；0为围压为0时对岩石强度的影响系数。

为进行负乘方型准则和指数型准则的比较，基于客观原则，本节将继续以表4中10种岩石的三轴试验数据作为数据样本进行分析。具体比较过程为：①将某种岩石全部的三轴试验数据代入指数型准则公式(11)，在1stOpt软件中使用麦夸特法和通用全局优化法，以拟合偏差绝对值之和最小为拟合目标，来求解相应准则参数，得到指数型准则针对该种岩石的具体数学表达式；②用获得的指数型准则数学表达式评估该种岩石在不同围压下的三轴强度，并根据式(7)计算出平均相对误差MRE；③将负乘方型准则与指数型准则评估的岩石三轴强度平均相对误差进行比较。

通过以上方法，在1stOpt程序中拟合得到指数型准则针对表4中10种岩石的具体参数值、准则表达式和评估的岩石三轴强度平均相对误差，见表7。

由表6和表7可知，负乘方型准则和指数型准则对表4中10种岩石评估的三轴强度平均相对误差MRE均在5%以内，说明这两种准则均具有较高的精度。对这10种岩石而言，负乘方型准则对其评估的三轴强度平均相对误差均略低于指数型准则。

负乘方型准则和指数型准则都是基于常规三轴压缩条件下，岩石破坏时主应力差随着围压的增加将逐渐逼近某一极限值的观点而提出。负乘方型准则(4参数)比指数型准则(3参数)多一个参数，这可能是前者评估岩石三轴强度精度略高的一个重要原因。

5 结论

a. 基于常规三轴压缩强度试验中岩石破坏时的主应力差与围压呈上凸的非线性特征，提出了岩石负乘方型强度准则；同时，基于Indiana石灰岩三轴试验结果，将该准则与传统准则(Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则)进行比较，分析得出该准则可以更高精度地评估岩石三轴强度。

表7 指数型准则对10种岩石评估的三轴强度平均相对误差

b. 基于公开发表文献中10种不同类型岩石的三轴试验数据，验证得出负乘方型准则评估的岩石三轴强度与岩石试验强度一致性较高，证明本文提出的负乘方型准则具有较好的适用性。

c. 负乘方型准则和指数型准则评估的岩石三轴强度均具有较高的精度。针对选取的10种岩石的三轴试验数据样本分析而言，负乘方型准则评估岩石三轴强度的精度略高于指数型准则。

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Negative power rock strength criterion under conventional triaxial compression

LI Bin, WANG Daguo

(School of Environment and Resource, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621010, China)

In order to evaluate accurately the rock strength under different confining pressures, a negative power rock strength criterion was proposed according to the upward convex nonlinear relationship between deviator stress and confining pressure during rock failure. The accuracy of the proposed criterion was compared with Mohr-Coulomb criterion and Hoek-Brown criterion. The results showed that the parameters of the negative power criterion are less sensitive to the range of confining pressure, and the negative power criterion could evaluate rock triaxial strength with higher precision. Meanwhile, the applicability of the proposed criterion was verified by using an extensive database of rock triaxial strength tests from literatures. The results showed that the evaluated strength values were very consistent with the test strength values. Thus, the negative power criterion has good applicability to evaluate the triaxial strength of different types of rock. Furthermore, by comparing with the exponential criterion, regarded as an outstanding criterion in rock engineering, the mean relative errors of the rock strengths evaluated by the two criteria were all within 5%, and the negative power criterion has higher accuracy in predicting rock triaxial strength. The proposed criterion can provide scientific reference for the design of exaction and support in deep rock engineering.

triaxial strength; strength criterion; nonlinear; exponential criterion; negative power criterion

TU451

A

10.3969/j.issn.1001-1986.2020.02.024

1001-1986(2020)02-0152-09

2019-07-04；

2019-10-22

国家自然科学基金项目(51904248)；四川省科技计划项目(2019YFH0088)；四川省教育厅科研项目(18ZB0598)

National Natural Science Foundation of China(51904248)；Science and Technology Program of Sichuan Province(2019YFH0088)；Science and Technology Innovation Project of Education Academy in Sichuan Province(18ZB0598)

李斌，1988年生，男，湖北钟祥人，博士，讲师，从事岩石力学及采矿方法与工艺方面的研究. E-mail：li19880506@126.com

李斌，王大国. 常规三轴压缩条件下的负乘方型岩石强度准则[J]. 煤田地质与勘探，2020，48(2)：152–160.

LI Bin，WANG Daguo. Negative power rock strength criterion under conventional triaxial compression[J]. Coal Geology & Exploration，2020，48(2)：152–160.

(责任编辑 周建军)