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踩点答对题 自信得满分

2020-06-04周汉斌

初中生世界 2020年23期
关键词:绕点综合题顺时针

文 周汉斌

(作者单位:江苏省东台市实验中学)

中考要想取得高分,攻克最后的两道综合题是关键。其中,几何综合题一般分三小题呈现,满分12分。近年来,这类题往往以动态几何形式出现,在图形的变换过程中,探究图形中某些不变的因素,把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在答题时我们要调节好心态,心中默念“压轴题不需要拿满分,但要拿到能拿到的分”。下面以2019年济南中考第26题为例分析说明。

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究。

(一)猜测探究

在△ABC中,AB=AC,M是平面内任意一点,将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AN,连接NB。

(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是________,NB与MC的数量关系是 ;

图1

(2)如图2,点E是AB延长线上一点,若M是∠CBE内部射线BD上任意一点,连接MC,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由。

图2

(二)拓展应用

如图3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=60°,∠B1A1C1=75°,P是B1C1上的任意点,连接A1P,将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°,得到线段A1Q,连接B1Q。求线段B1Q长度的最小值。

图3

此题位于整卷倒数第2题的位置,是考查几何变换的一道综合题,有较大的难度,也是一道区分度明显的压轴题,解答的原则是分步取分。

【分析(一)(1)】如图1,

∵∠MAN=∠CAB,

∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC,

∴∠NAB=∠MAC。

∵AB=AC,AN=AM,

又∠NAB=∠MAC,

∴△NAB≌△MAC(SAS),

∴BN=CM。

故答案为∠NAB=∠MAC,BN=CM。

【点评】填对一空得2分,两空共4分,压轴题不是每一个问题都很难,认真读题审题,思考一下,还是能轻松拿分的,解题的自信很重要。

【分析(一)(2)】(1)中结论仍然成立,第(2)问的证明方法也与(1)类似,(1)是为(2)引路的。

如图2中,(1)中结论仍然成立。

理由:∵∠MAN=∠CAB,

∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC,

∴∠NAB=∠MAC,

又∵AB=AC,AN=AM,

∴△NAB≌△MAC(SAS),

∴BN=CM。

【点评】一道试题有几个小题,题目之间必然有关联,如本题的(1)(2)两问之间是呈现递进关系的,(1)是(2)的特例,(2)是(1)的一般情况,因此做(2)时不妨看看(1),(1)(2)比一比,思路自然产生。

【分析(二)】题目明确指出:“拓展应用”,也就是利用(一),解决(二),因此我们就要在(二)中寻找(一)的影子,一旦找出,(二)就不难解决了。(一)中的△ABC是等腰三角形,因此我们在A1C1上截取A1N=A1B1,连接PN,如图 4,出现了(一),模仿之:

图4

∵∠C1A1B1=∠PA1Q,

∴∠QA1B1=∠PA1N,

又∵A1Q=A1P,A1B1=AN,

∴△QA1B1≌△PA1N(SAS),

∴B1Q=PN。

要求线段B1Q长度的最小值,则转化为求PN长度的最小值。联想到垂线段最短,即当PN垂直B1C1时PN的值最小。为此作NH⊥B1C1于H,作A1M⊥B1C1于M,如图5。

在Rt△A1B1M中,

在 Rt△NHC1中,

根据垂线段最短可知,当点P与H重合时,PN的值最小,

∴QB1的最小值为。

图5

【点评】最后的4分,是全题的亮点。将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°,得到线段A1Q。动点Q由点P的运动而发生,点P动则点Q动,点P是主动点,点Q是从动点,因此点P在线段B1C1上运动,点Q也应该在某线段上运动。点Q是由点P绕点A1按顺时针方向旋转75°得到的,因此点Q的路径是线段B1C1绕点A1按顺时针方向旋转75°得到的(如图5)。要求线段QB1的最小值,由于点B1的位置是确定的,而点Q的路径是一条线段,线段最小值当然是根据垂线段最短来确定,但这个最小值如何求,则难以下手。题目的“拓展应用”暗示我们去构造(一)中的模型,利用(一)的结论解决问题。根据这个暗示,不难添加辅助线,构造全等三角形转化问题。我们要善于揣摩命题者的意图,寻找命题专家不经意中透露的信息,一旦想到暗语,压轴题也是不难破解的。

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