马龙

【摘要】本文研究了一种几何构图的相关性质，这种构图由两个分布在异侧的共底，且面积相等的三角形组成，從两个三角形的顶点分别作各自外接圆的切线，本文对两条切线的交点做了很多探索，发现了这个交点的几个主要几何性质，并寻找到了技巧性很强的基于几何变换等相关构造方法的证明.在这几个性质中，两条切线长度之比是最基本的性质，它的证明基于正弦定理，用它可以直接导出一对相似的直角三角形.在两条切线的交点与两个三角形构成的四边形的四个顶点的连线中，会形成两组相似的三角形，很有对称美感，但它的证明却不易寻找，本文给出了一种基于位似变换的证明方法.本文最后给出了一道基于这个基本形的奥数练习题，并给出这道题基于角度搬运的解决方法.本文的这些发现对初等几何研究有着很深的理论意义.

【关键词】共底三角形;等高三角形;外接圆;切线

一、概 述

两圆相交是平面几何问题中常见的基本构图，如果从相交两圆上取一对到公共弦距离相等的点，并从这对点作各自所在的圆的切线交于一点，则这个交点有很多有趣的几何性质.这些性质的探索和证明过程也用到了很多添加辅助线的技巧，有很美的欣赏价值，对训练解析几何证明题的技巧也有重要的应用价值.

本文论述的基本构图如下：从线段AB向两侧分别作面积相等的三角形△BAC和△DAB，⊙O1和⊙O2分别是△BAC和△ABD的外接圆，过点C和点D分别作⊙O1和⊙O2的切线交于点P（如图1所示），本文将给出关于点P的几个几何性质和对应的证明思路.

二、切线长度性质

两个外接圆在一般情况下不是等圆，在构图中可以看出圆的半径越大，该圆的切线长度越长，实际上，切线的长度满足下面的性质：

这个结论是对推论1的充分应用，把对称点和另外一条切线联系到了一起.

五、结 论

综上所述，在共底异侧三角形的外接圆顶点切线交点的基本构型中，有很多形式并不复杂的几何性质，但这些性质的证明却不易想到，也涉及了巧妙的构造技巧.这一系列的题目对奥数培训有一定的应用价值，也对发现更多的性质有深远的理论意义.