苏彤

【摘  要】论文旨在利用线性规化方法为人们提供一个切实可行的膳食方案。在确保每天可以摄入足够的营养元素以及兼顾个人饮食偏好的情况下，使得成本降到最低，解决膳食一类的生活问题。

【Abstract】This paper aims to provide a feasible dietary plan for people by using linear programming method. Under the condition of ensuring that enough nutrients can be taken in every day and taking into account personal dietary preferences， the plan can minimize the cost and solve the life problems such as diet.

【关键词】线性规划;优化算法;权重因子

【Keywords】linear programming; optimization algorithm; weight factor

【中图分类号】R151                                                    【文献标志码】A                                     【文章编号】1673-1069（2020）02-0133-02

1 引言

随着经济水平的日益提高，现在人们也越来越重视生活质量，搭配出符合人们日常营养需要的饮食计划也变得更加重要。因此，论文对人体要摄取的必需的营养元素进行合理搭配。利用线性规划优化饮食结构，同时，根据个人的身体状况、饮食习惯、运动情况等因素来确定一周的合理饮食计划[1]。

2 线性规划问题模型的建立

2.1 线性规划模型

线性规划问题的一般数学模型如下：

max（或min）Z=c■x■+c■x■…+c■x■ （1）

s.t.a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■     a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■x■x■……x■>0        （2）

■

式（1）是目标函数，式（2）是约束条件。

2.1.1 约束条件

模型的创建需要遵从下面四个约束条件：

①基本的各营养元素的需求：为确保能够汲取充足的营养，存在各种差异的群体对于各种营养元素的吸收量有一个合适的范畴，否则会诱发各种疾病，对人体的健康造成威胁[2]。

因此，有：

minbj≤■a■x■≤maxb■， j=1，2...，m

②食品安全问题：有一些食物由于相互之间的作用，不宜一起进食，所以用0～1变量yi来判定有没有选择第i种食品，选择了第i种食物则为1，否则为零。

满足yi=（xi>0）

即如果选择了第i种食品，xi>0，则逻辑表达结果为1，即相对应的0～1变量为1，反之为零。

yi+yj≤1，i， j=1，2...，n，i≠j

③食品种类与数目：为使方案更加切实可行，要谨慎严肃地限定每一類食品的数目，而且对食品总数进行限定： ■y■≤N■

可得：

mins■≤■y■≤maxs■

④额外的约束条件：如果第i种食品的判别数yi为零，则xi一定是0，否则xi为小于无穷大的数。设m为一无穷大的数。约束条件如下所示：

xi≤myi

2.1.2 目标函数

在经济支出最小化的同时，最大限度地满足群众或个体的喜好习惯的要求，可创建如下目标函数：

min=■x■c■/max（x■）-■y■l■

其中，xi /max（xi）为归一化xi。

2.1.3 模型的建立

本文创建了符合上述限制条件的如下的多目标线性规划模型：

min=■x■c■/max（x■）-■y■l■

s.t.minb■≤■a■x■≤maxb■， j=1，2...，my■+y■≤1，i，j=1，2，...，n，i≠jmins■≤■y■≤maxs■，k=1，2...，k■y■≤Nx■≤my■，i=1，2...，n

2.2 模型的简化

接下来，将上文中的多目标规划模型简化为单目标规划模型。

①设P1为经济情况的权重，P2为膳食习惯的权重。可以表现出群众更倾向于经济情况还是更倾向于个体喜好。P1越大，P2越小，说明食物的支出重要性越重要。

②系数P1、P2，可以使用随机试验的方式来调节试验和优化，选择合适的数据。

根据这两个权重系数P1、P2，把上文中的多目标线性规划模型简化为以下的单目标线性规划模型：

min=p■■x■c■-p■■y■l■

s.t.minb■■a■x■≤maxb■，j=1，2...，my■+y■≤1，i，j=1，2....，n，i≠jminsk≤■yi≤maxsk，k=1，2…，k■y■≤Nx■≤my■，i=1，2...，n

3 实际算例的求解

假定一个成年人每天需要摄取3000kcal的热量、55g蛋白质和800kg的钙。市场上只有四种食品可供选择，根据它们每kg所含的热量和营养成分以及市场价格，试问如何选择才能在满足基本营养的前提下使费用达到最低？

3.1 问题假设

①每个成年人的体质和对营养素的需求一致，且均为正常的健康水平;

②饮食均衡只考虑营养元素摄入量方面的平衡;

③该地域物产丰富，不存在食物短缺的可能;

④当日的情况对后续不会产生影响;

⑤热量、蛋白质等提供足够的能量后，剩下的部分不会再提供能量;

⑥每日获取营养的途径仅仅是三餐;

⑦各种食物的营养成分和價格保持不变。

3.2 符号说明

Z为购买食品的费用最小量;

X1为第1种食物（猪肉）每天都购入量;

X2为第2种食物（鸡蛋）每天都购入量;

X3为第3种食物（大米）每天都购入量;

X4 为第4种食物（白菜）每天都购入量。

建立配餐的线性规划模型为：

minZ=14X1+6X2+3X3+2X4

s.t.1000X1+800X2+900X3+200X4≥3000500X1+60X2+20X3+10X4≥55400X1+200X2+300X3+500X4≥800X1≥0，X2≥0，X3≥0，X4≥0

3.3 模型求解

目标函数为10，即最优化方案所需要的费用为10元。每周每种菜蔬所需要的份数X1，X2，X3，X4分别为0，0，3.333333，0，合计购入量共3.333333份，成本最小，为10元。

3.3.1 系数价格分析

对于目标函数X3来说，原来费用系数为3.0，允许增加3.75，或者允许减少3.0， 说明它在[3-3，3+3.75）=[0，6.75）范围变化时，最优解不变。

3.3.2 约束中右端变化的分析

第三行约束条件中右端原来为55，当它在[43.33333，66.66667]范围变化时，最优解保持不变，最优基即使不再变化，最优解、最优值会产生变化。

4 总结与展望

针对线性规划问题的求解，提出了一些解决方法，并通过实例验证了此算法的有效性，但是对于数据量大或复杂问题的求解，这些算法是否能在实际问题中取得良好的效果还有待验证。

【参考文献】

【1】陈晓杰.生产问题中单纯形解法的改进[J].常熟理工学院学报（自然科学），2011（08）：39-42.

【2】张劲松，李红.含自由变量LP问题的改进单纯形法[J].运筹与管理，2012（01）：53-56.