彭雪峰+陈杨林

摘 要：本文针对具体的学校学生体能测试时间安排问题展开了深入研究。对于学生等待时间的理解为，学生在测试场地的时间与各项测试的总时间之差。为了满足该校的要求和条件，分析了将所有学生分批次进行测试的原因，而每批次的最佳学生数为40人，次佳学生数为50人，而40人和50人的可选组合人数为80、90、100和120，并通过建模得到了学生班级的28个测试批次，同进同出进行测试。如果28个测试批次的学生采用紧凑式进出场地，即前后两批次的学生测试时间可以重叠。我们将模型优化后可得到最优测试时间安排：整个测试时间段为3段，学生总等待时间约减半。

按照上述模型和算法，我们得到五个测试项目重组为三个项目进行轮转为最佳，因而提出了如下调整建议：需引进立定跳远、肺活量测试仪器各1台，一个班的学生需要分组，每组30人，这样测试场所的人员容量只需30人。

关键词：线性规划；可选组合数；轮转法；数学模型；MATLAB

中图分类号： G523 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）36-82-2

1 问题描述与分析

首先，由于考虑到测试场所最多可容纳150个学生，同一班的所有学生在同一时间内完成所有项目的测试所用时间最少的情况下，我们先将150个学生看成一个班级不考虑学生的学号，利用数学软件（lingo）求出最短时间和满足最短时间的条件。如果将150个人分为了两个班级，通过计算最短时间可知，后者比前者多了5秒钟的录入学号时间。依此做法，每增加一个班级就会多出5秒钟的录入学号时间。即，多n个班级就会有n个录入学号时间。在对问题的模型建立过程中，我们对附表中的班级采取合并的方法，即将一个班或几个班看成一个整体，又考虑到学生的学号不同，我们对模型进行了修改，采取轮转法求最短时间。我们还计算了耗时多的向耗时少的方向轮转与耗时少的向耗时多的方向轮转的区别。

其次，考虑到在测试时间段我们采取了对班级进行分组的方法，针对不同的仪器对每个学生测试所用的时间不同，并且有些项目有多台设备的录入学号问题。

2 模型建立与计算

模型一：

为简化问题，我们做出如下假设：

①将同一批次测试的学生看作整体（即不考虑班级与班级之间的学号问题）；②将同一项目的测试看作整体（即不考虑有多台仪器的录制学号问题）；我们将同一批次测试的学生分成5组，同时进行5项测试。则所需时间如下：

PT1=10/3，PT2=20，PT3=15/2，PT4=20，PT5=210/10

mint=t1+t2+t3+t4+t5+5

x1+x2+x3+x4+x5=k

t1=max（10*x1/3，20*x2，15*x3/2，20*x4，210*x5/10）

t2=max（10*x2/3，20*x3，15*x4/2，20*x5，210*x1/10）

t3=max（10*x3/3，20*x4，15*x5/2，20*x1，210*x2/10）

t4=max（10*x4/3，20*x5，15*x1/2，20*x2，210*x3/10）

t5=max（10*x5/3，20*x1，15*x2/2，20*x3，210*x4/10）

假设k=150人，求得结果如下（运算程序见附件1）：

x1=31人，x2=29人，x3=30人，x4=30人，x5=30人，t=3155秒

模型二：我们考虑班级与班级之间的学号问题及多台仪器的录制学号问题。

①若考虑班级与班级的学号问题即每个班级的第一个学生与上一个班级的最后一个学生的学号不相连，所以就存在一个录入时间5秒，用轮转法得出5项测试有4项存在这个录入时间（因为我们在这里把每一批次的学生看作一个整体，故不存在耗时多向耗时少轮转与耗时少向耗时多的差异，只有一个学号不相连的5秒差）。按时间分我们得出耗时间最长的台阶测试不要加，其余4项均加一个5秒。因此下面的第一项至第五项测试分别为台阶试验、立定跳远、肺活量、握力、身高与体重。

我们将一批次的K个学生分成学号相连的5组

第一项测试：x1，x2，x3，x4，x5；第二项测试：x2，x3，x4，x5，x1因队伍的学号加了一个录入时间；第三项测试：x3，x4，x5，x1，x2因队伍的学号加了一个录入时间；第四项测试：x4，x5，x1，x2，x3因队伍的学号加了一个录入时间；第五项测试：x5，x1，x2，x3， x4因队伍的学号加了一个录入时间。

②一项测试有多台仪器的项目均需增加一个录入时间5秒。

得出如下（运算程序见附件2）：

由个班级组合成一个人数为k的批次

mint=t1+t2+t3+t4+t5+n*5

x1+x2+x3+x4+x5=k

t1=max（10*x1/3+5+5，20*x2+5，15*x3/2+5+5，20*x4+5，210*x5/10+5）

t2=max（10*x2/3+5+5，20*x3+5，15*x4/2+5+5，20*x5+5，210*x1/10+5）

t3=max（10*x3/3+5+5，20*x4+5，15*x5/2+5+5，20*x1+5，210*x2/10+5）

t4=max（10*x4/3+5+5，20*x5+5，15*x1/2+5+5，20*x2+5，210*x3/10+5）

t5=max（10*x5/3+5+5，20*x1+5，15*x2/2+5+5，20*x3+5，210*x4/10+5）

假设k=150，n=1，得：x1=31人，x2=29人，x3=30人，x4=30人，x5=30人，t=3180秒

由以上结果我们得出规律并编排出表1：①用轮转法时，要将同一批次的学生均衡的分配。②学生测试用时最多的尽量充分利用。

因为40+75=115<210，

所以我们将时间最短的两个项目看作整体，得出表2：

由以上分析得，一批次的学生为40人最佳，其次是50人。但学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有的项目。因而我们只有向40、50拼凑，次可选组合人数80，90，100，120，故可选组合数为40、50、80、90、100、120。又因为人数越多学生的等待时间越长，所以数字尽量小且数字只能比可选人数小而不能比可选人数大。

我们将附表得如下分组：①40人的组有3个。②50人的组有8个。③79人的组有2个。（可以当作4个40人的组）。④80人的组有9个。（可以当作18个40的组）。⑤89人的组有1个。（可以当作1个40人的组和1个50人的组）。⑥90人的组有1个。（可以当作1个40人的组和1个50人的组）。⑦99人的组有1个。（可以当作2个50人的组）。⑧120人的组有2个。（可以当作6个40人的组）。

即我们把附表中的班级当作36个40人的组和12个50人的组。

k=40m+50n≤150

4m11+5n11≤15000/225 4m12+5n12≤1170/225

4m21+5n21≤15000/225 4m22+5n22≤1170/225

m11+m12+m21+m22=36 n11+n12+n21+n22=12

按照优先填满原则，求得：

答案一：m11=14n11=2m12=8n12=4 答案二： m11=9n11=6m12=13n12=0

我们可以参照上面其中一个答案编排出学生测试时间安排表，结果所有56个班级所需要的时段为4个，如表3所示：

这个表格虽然不是时间编排最紧凑的（即可以把第二天下午测试的批次分配到其余三个时段），经过我们的分析得出：第二天下午不能完全分配到其余三个时段，因而最少时段仍为4个时段，且学生的等待时间均相等。故我们在这不再做调整。

第I批次的学生在测试场地的时间各项测试的总时间

批次为40人的学生的总等待时间：T1=（40*21+5+5*5-275）*40=23800秒；批次为50人的学生的总等待时间：T2=（50*21+5+14*5-275）*50=43550秒；批次为79人的学生的总等待时间：T3=（80*21+5+4*5-275）*79=112970秒；批次为80人的学生的总等待时间：T4=（80*21+5+18*5-275）*80=120000秒；批次为89人的学生的总等待时间：T5=（90*21+5+2*5-275）*89=145070秒；批次为90人的学生的总等待时间：T6=（90*21+5+2*5-275）*90=146700秒；批次为99人的学生的总等待时间：T7=（100*21+5+3*5-275）*99=182655秒；批次为120人的学生的总等待时间：T8=（120*21+5+8*5-275）*120=274800秒。

按上述编排方法可以得到最佳方案，即测试所需段数最少为4段，学生等待的总时间为1049545秒。

参 考 文 献

[1] 谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社，2005.

[2] 傅家良.运筹学方法与模型[M].复旦大学出版社，2005.

[3] 费培之，程中瑗.数学模型实用教程[M].成都：四川大学出版社，1999.

[4] 唐应辉，唐小我.排队论——基础与分析技术[M].北京：科学出版社，2006.