不同背景下的三角函数综合题的常见题型及策略分析

2020-05-25江苏省镇江市丹徒高级中学212143范习昱

中学数学研究(广东) 2020年7期

江苏省镇江市丹徒高级中学(212143) 范习昱

所谓三角函数综合题,就是围绕三角函数的图像和性质、三角恒等变换、解三角形的知识体系,将其中某两种或三种综合起来命制三角题,主要运用的工具是三角函数的定义、同角三角函数的公式、两角和与差的三角函数公式等三角恒等变换公式以及正、余弦定理等三角形中的常见定理和结论.这类题型是各省市的高考考查的重点,一般命制中档难度的解答题,是考生主要的得分点,一旦失手,后果可想而知.然而一些学生很容易算错,甚至花了很多时间进步不大.笔者结合多年高三复习经验,翻阅很多高考试卷,发现这些题的命制背景虽然不同,解题策略却规律明显,笔者进行了总结和反思,希望能读者些许帮助.

1.三角形背景下正、余弦定理的直接运用

例1∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.

(1)求B;(2)若b=3,∆ABC的周长为的面积.

点评在三角形中直接运用正、余弦定理是三角函数综合题中最典型的题型,也是最为常见和简单的.一般题中会给出一个含有三角形边角的等式,比如案例1中的等式(a+2c)cosB+bcosA=0,同学们只需对这等式进行恒等变形,即利用正、余弦定理将其统一为边或者角即可.

反馈演练∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求C;(2)若∆ABC的面积为求∆ABC的周长.

答案∆ABC的周长为

2.向量背景下的解三角形或三角函数图像和性质的考查

例2在∆ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(a,c−2b),n=(cosC,cosA),且m⊥n.

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=5,∆ABC的面积为求a.

解(1)由m⊥n,可得m·n=0,即 2bcosA=acosC+ccosA,即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosA=sin(A+C),因为sin(A+C)=sin(π−B)=sinB,所以2sinBcosA=sinB,即sinB(2cosA−1)=0,因为 0＜B＜π,所以 sin0,所以因为0＜A＜π,所以

点评三角函数综合题有时以向量为背景进行命制,比如结合向量的坐标运算、向量垂直与平行的充要条件、向量的数量积等等,其本质依然是考察三角恒等变换或者三角函数的图像和性质.对于这类问题,我们的基本策略是将向量条件等价转化为三角条件,即关于三角形中边角的三角方程或者表达式,然后依照案例的方法就可很容易的解决.

反馈演练已知向量x∈[0,π],

(1)若a//b,求x的值;

(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

答案(1)

3.几何图形背景下的解三角形

例3如图1,在∆ABC中,点D在AC边上,且

(1)求BD的长;(2)求∆BCD的面积.

图1

点评以几何图形比如三角形、平行四边形或者梯形为背景,也是三角函数综合题中很常见的一种题型,我们的策略是在给定图形中找准相应的三角形(可能需要作辅助线;垂线或中线等等),在这个三角形中运用正、余弦定理和三角恒等变换知识加以解决,结合已知条件处理图形是求解这类题型的关键.

图2

反馈演练

如图,在∆ABC中,∠ABC=90◦,,P为∆ABC内一点,∠BPC=90◦.

(2) 若∠APB=150◦,求tan∠PBA.

答案

4.恒等变换背景下的解三角形或三角函数图像和性质的考查

例4已知函数

(1)求函数y=f(x)的最小正周期以及单调递增区间;

(2)已知∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=1,c=2,sinC+sin(B−A)=2sin2A,求∆ABC的面积.

点评这类三角函数综合题型往往首先给出一个较为复杂的综合的而并没有化简的三角函数解析式,比如例4中的函数f(x)=cos2x+2sinxcosx−sin2x,然后提问三角函数的某些图像和性质,或者求解一些较为复杂的三角函数值.处理这类题型的通用策略是利用三角恒等变换化简,比如两角和与差的三角函数公式或者二倍角、半角公式等等将其化简成Asin(ax+φ)+B或Acos(ax+φ)+B的形式,然后解三角形或者求解三角函数图像和性质即可.

反馈演练设

(1)求f(x)的单调区间;

(2)在锐角∆ABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若求∆ABC面积的最大值.

答案f(x)的单调递增区间是单调递减区间是∆ABC面积最大值为

5.三角函数图像背景下的三角函数求值

例5设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图3所示.

图3

点评在三角函数图像背景下求三角函数值也是一类常考题型,是解答题中较容易的题,其一般策略是首先根据图像求出三角函数的解析式,然后利用三角恒等变换化简求值.

6.三角函数定义背景下的三角恒等变换运用

例6如图4,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点

图4

(1)求cosβ的值;

(2)若点A的横坐标为求点B的坐标.

解(1)在∆AOB中,由余弦定理得,AB2=OA2+OB2−2OA·OBcos∠AOB,所以

点评回归课本、回归定义、回归数学本质一直是数学高考复习前沿的最嘹亮的口号,也是很多一线教师最易忽视的,所以以三角函数定义为背景命制的三角函数综合题受到很多命题专家的青睐,广泛出现在各省市高考或者大型的模拟考试题中,很多学生措手不及,纷纷中招.究其原因,是三角函数的定义不能理解或者理解不透,平时的解题都是简单模仿.求解这类题型的关键策略是吃透三角函数的定义:点P(x,y)是角α终边上任意一点,则规定而当在单位圆中时即r=1便有y=sinα,x=cosα,是可以求出终边上点的坐标的.

反馈演练

如图5,单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点,单位圆与y轴的正半轴交于点A,与钝角α的终边OB交于点B(xB,yB),设∠BAO=β.

图5

(1)用β表示α;

(3)求xB−yB的最小值.

答案的最小值为

7.实际应用背景下的三角函数最值求解

图6

例7如图6,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在∆ADE区域内参观.在AE上点P处安装一个可旋转的监控摄像头,∠MPN为监控角,其中M,N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方.经测量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,记∠EPM=θ(弧度),监控摄像头的可视区域∆PMN的面积为S平方米.

(1)求S关于θ的函数关系式,并写出θ的取值范围(参考数据:

(2)求S的最小值.