广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东

含参不等式恒成立问题,特别是利用导数解决含参关系式恒成立求参数的取值范围这一问题经常出现在高考试题中,是高考的重点也是难点.解决这一类问题需要用到函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论等数学思想,能够很好的反映学生的数学素养.下面结合例题具体谈谈此类问题的求解策略.

策略一 不等式f(x,a)≥0恒成立⇔fmin(x,a)≥0,合理分类讨论求最值.

例1(2010年高考新课标卷理科)设函数f(x)=ex−1−x−ax2,a∈R.若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

解因为f′(x)=ex−1−2ax,它比较复杂,考虑进一步求导:f′′(x)=ex−2a,显然f′′(x)递增,故当x≥0时,f′′(x)min=1−2a.于是

(1)当2a≤ 1,即时,f′′(x) ≥ 0,所以f′(x)在[0,+∞)单调递增,所以f′(x) ≥f′(0)=0,即f′(x)≥ 0,所以f(x)在[0,+∞)单调递增,所以f(x)≥f(0)=0.

(2)当2a＞1,即时,令f′′(x)=ex−2a=0,解之得x=ln2a.

当x∈(0,ln2a)时,f′′(x)＜0,f′(x)为单调递减函数;又因为f′(0)=0,所以x∈(0,ln2a)时,f′(x)＜0,所以f(x)在区间(0,ln2a)是单调递减函数.又f(0)=0,所以x∈(0,ln2a)时,f(x)＜0不符合题意要求.

综上所述,实数a的取值范围为

评注(1)分类讨论的难点在于分类标准的确定,目标就是确定导函数的符号,一般要结合导函数的具体形式来确定.如果导函数的符号能等价转化为一个二次函数的符号,则常见的讨论标准如下:1.讨论是否是二次函数;2.讨论零点的存在与否;3.讨论零点是否在定义域之内;4.讨论零点的大小关系;5.讨论二次函数的开口方向.

(2)本例中f′(x)=ex−1−2ax比较复杂,为了研究其符号,关键还是弄清楚其单调性,故继续对其求导后根据f′′(x)=ex−2a的符号来确定讨论标准.

策略二分离参数避免分类讨论,快速求解.

例2(2013年高考全国新课标卷)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥−2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

解(1)a=4,b=c=d=2.

综上,k的取值范围为1≤k≤e2.

评注本题是一个典型的利用分离参数法求解参数取值范围的例子,分离中需要注意分母函数g(x)的符号,分离参数的目的就是避免复杂的分类讨论而达到快速求解!

策略三 利用必要条件或端点效应缩小参数的范围.

例3(2014年高考全国新课标卷)已知函数f(x)=ex−e−x−2x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设g(x)=f(2x)−4bf(x),当x＞0时,g(x)＞0,求b的最大值.

解(1)略.

(2)注意到g(0)=0,要使当x＞0时,g(x)＞0,则必存在x0＞0,当x∈(0,x0)时,g(x)递增,也即有:当x∈(0,x0)时,g′(x)≥ 0,从而必有:g′(0)≥ 0.而

于是g′′′(0)=8(2−b)≥ 0⇒b≤ 2.而当b≤ 2时,g(x)=f(2x)−4bf(x)≥f(2x)−8f(x)=h(x),

故h(x)递增,又h(0)=0,于是h(x)＞0,也即有g(x)＞0成立.

综上,b的最大值为2.

评注端点效应是指:对于∀x∈[a,b],f(x)≥0,且f(a)=0.则必然∃x0∈(a,b),当x∈[a,x0]时f(x)递增,从而有x∈[a,x0]时,f′(x)≥0成立,特别有f′(a)≥0这一必要条件得出参数的范围,然后说明这一范围的充分性即可,这样既避免了分类讨论,也可避免了分离参数后函数很复杂且有时需要用到罗必塔法则的情形.实际操作中,若不满足这一条件,我们也可以在自变量的范围内取一特定值,缩小参数的取值范围,减少分类讨论的种类!

策略四分离函数,数形结合,转化为两函数图像的关系.

例4若不等式ax−lnx≥a(2x−x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围.

解方法一 因为不等式ax−lnx≥a(2x−x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2−x)≥lnx对∀x∈[1,+∞)恒成立.当x=1时,不等式显然成立,当x＞1时,x2−x＞0,lnx＞0,故a＞0.令g(x)=a(x2−x),f(x)=lnx作出两函数的图像,如图1.

图1

当f(x)与g(x)在x=1处相切时,g(x)(x＞1)图像恰好位于f(x)(x＞1)图像的上方,此时f′(1)=g′(1),即a=1,结合图像可知,所求a的取值范围为a≥1.

评注本法是转化为两曲线的情况.顺着这个思路,本题还有以下两种解法.

方法二 因为不等式ax−lnx≥a(2x−x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2−x)≥lnx对∀x∈[1,+∞)恒成立,也即对∀x∈[1,+∞)恒成立.令,则可知f(x)在(1,e)上递增,(e,+∞)上递减.如图2,故当直线y=a(x−1)位于f(x)在x=1处的切线及其上方时,不等式恒成立,从而a≥f′(1)=1.

图2

图3

方法三 因为不等式ax−lnx≥a(2x−x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立,所以对∀x∈(1,+∞)恒成立.

例5已知函数f(x)=x−aln(x+1),若对任意的x∈[1,2],f(x)≥x2恒成立,求实数a的取值范围.

解f(x)≥x2,即

图4

对任意的x∈[1,2]恒成立.因为x∈[1,2]时,x−x2≤0,ln(x+1)＞0,故a≤0,从而函数y=aln(x+1)和函数y=x−x2都在[1,2]上递减,且它们的凹凸性相反.在同一坐标系下作出两函数的图像,如图4,可知当函数y=aln(x+1)满足在x=2时,y≤−2即可,即

评注分离函数可看作分离参数法的推广,分离函数时,可以尽量从多个角度尝试不同的分离方式,只要分离后的函数比较简单即可.

策略五等价变换,巧妙转化.

例 6(广东省 2019届高三六校联考)已知函数

(1)求函数f(x)在[1,+∞)上的值域;

(2)若∀x∈[1,+∞),lnx(lnx+4)≤ 2ax+4恒成立,求实数a的取值范围.

评注当函数f(x)比较复杂时,我们可以对其进行等价变换,比如换元法,同构法等,使得问题达到简化的目的!

以上是导数解决函数恒成立求参数取值范围问题的一般策略.一般来说,从解题的复杂程度来说选择的步骤是:数形结合,分离函数→分离参数→端点效应→合理转化→分类讨论.当然以上顺序也不是一成不变的,还是要具体情况具体分析.

最后结合分离函数法来简单谈一下作为一个教师怎么编制出恒成立问题的试题.我们可以利用一些常见的曲线和直线来构造恒成立问题,特别是直线过曲线上的定点或者直线就是曲线在某点处的切线时.比如我们可以编制如下问题:

(1)函数f(x)=lnx在x=1处的切线方程为y=x−1,于是我们可以这样出题:当x＞1时,lnx＜a(x−1)恒成立,求a的取值范围(答案:a≥1);

(2)函数f(x)=(1−x)ln(x+1)在x=0处的切线方程为y=x,于是我们可以这样出题:当x＞0时,(1−x)ln(x+1)＜ax恒成立,求a的取值范围(答案:a≥1).

我们还可以将本文中的例4稍加改编得到如下比较有趣的一道题:

(3)若不等式ax−lnx≥a(2x−x2)对∀x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围.

结合文章中的解法,不难知道所求a的取值范围为a=1,它只有一个值满足要求!