刘 磊, 管青海,2,*, 李加武, 刘健新

(1. 天津城建大学 天津市土木建筑结构防护与加固重点实验室, 天津 300384; 2. 长安大学 陕西省公路桥梁与隧道重点实验室, 西安 710064; 3. 长安大学 风洞实验室, 西安 710064)

0 引 言

颤振是一种由于气动不稳定引起的自激发散振动，在大跨度桥梁中若发生颤振，可能导致结构的整体破坏，因此大跨度桥梁结构颤振问题的研究显得尤为重要。为了对桥梁结构进行颤振响应分析，首先要确定桥梁断面的颤振导数。准确识别桥梁的颤振导数，成为大跨度桥梁结构颤抖振分析[1]中的重要环节。

对于颤振导数的识别，张斐针对桥梁断面颤振导数识别的具体特点，在加权整体最小二乘法[14]和修正总体最小二乘迭代法[15]的基础上，引入加权矩阵，推导出用于颤振导数识别的加权最小二乘迭代(WLS)法[16]。此外，最小二乘复指数法[17](LSCE)，基于特征系统实现算法[18](ERA)的识别方法，等一系列以二维节段模型自由振动试验为基础的颤振导数识别方法得到提出和发展。上述颤振导数的识别方法大多通过颤振导数与系统模态参数之间的关系，将颤振导数的识别问题转化为系统模态参数的识别问题。本文从功能转换角度，提出了一种基于瞬时做功的颤振导数识别方法。

桥梁和风是两个相互作用的系统，风对桥梁系统的作用效应可以分为两部分：(1) 风的阻尼作用耗散或增加桥梁系统的机械能，即阻尼效应。(2)风与桥梁系统交换机械能，并以弹性势能的形式储存，即刚度效应。本文基于能量等效原理，首先将颤振自激力各项进行了分类。在有限元分析软件ANSYS中建立理想平板模型，其颤振自激力通过MATRIX27单元实现。以理想平板的经典耦合颤振为例，依据功能转换原理，通过对具有阻尼效应自激力的做功时程和桥梁系统机械能时程的对比分析，验证了上述颤振自激力分类的合理性。然后将颤振微分方程通过积分运算转化为功能方程的形式，提出了一种基于瞬时做功的颤振导数识别方法，并以理想平板的颤振导数识别为例对该方法的可靠性进行了验证。

1 颤振自激力分类及其合理性验证

1.1 颤振自激力分类

(1)

(2)

依据能量等效原理，当流线型桥梁断面采用Scanlan颤振自激力模型计算颤振响应时，为保证振动响应计算结果的等效性， Scanlan颤振自激力和实际颤振自激力(Lse(t)、Mse(t))的气动阻尼系数和气动刚度系数在每一个瞬时均应相等，即满足:

(3)

(4)

(5)

(6)

式(3)、式(5)为瞬时气动阻尼等效性的约束条件，其积分项代表自激力对节段模型振动系统做功的瞬时积累值，若保证自激力做功的当前积累值等效，那么节段模型振动系统的瞬时机械能也是等效的，由此，可以保证计算出的瞬时振幅是相等的；式(4)、式(6)为瞬时气动刚度等效性的约束条件，其积分项代表自激力对节段模型振动系统所做的无功瞬时积累值，若保证自激力所做无功的当前积累值等效，则可以保证计算出的瞬时相位是一致的。在自激振动过程中，由于气动自激力耦合项的存在，扭转模态和竖弯模态的振动响应都包含两个不同的频率成分，竖弯振动和扭转振动的位移与速度函数可以近似表达为:

h(t)=ah1cosφh1+ah2cosφh2

(7)

(8)

α(t)=aα1cosφα1+aα2cosφα2

(9)

(10)

经典耦合颤振属于竖弯和扭转模态完全耦合的颤振，当颤振发生时竖弯和扭转两个自由度的振动频率基本相等，并具有一定的相位差。

≠0

(11)

=0

(12)

1.2 颤振自激力分类的合理性验证

为了检验颤振自激力分类的合理性，下面分别求出颤振自激力各效应项的做功时程和无功时程。扭转和竖弯模态气动阻尼效应项做功时程表达式如下:

(13)

(14)

扭转和竖弯模态气动刚度效应项无功时程表达式为:

(15)

(16)

颤振自激力阻尼效应项做功与系统机械能存在转换关系，因此为了对自激力分类的合理性进行验证，还需求出系统的机械能。扭转和竖弯模态机械能表达式如下:

(17)

本文在ANSYS中建立理想平板简支梁模型，并以模型的扭转模态为例具体说明验证过程。

该理想平板简支梁长L=300 m，宽B=40 m，两端扭转自由度固定。平板断面竖向和横向弯曲刚度为EIz=2.1×106MPa·m4,EIy=1.8×107MPa·m4，扭转刚度GIt=4.1×105MPa·m4。每延米长度质量m=20 000 kg/m，质量惯矩Im=4.5×106kg·m2/m，空气密度ρ=1.25 kg/m。结构模态阻尼比均假设为零。其中桥面主梁采用BEAM4单元模拟，质量惯矩采用MASS21单元模拟，自激力采用MATRIX27单元模拟。模型共有120个节点，237个单元。

为获得理想平板简支梁的振动响应，给予主梁节点单位瞬时速度的初始激励，基于ANSYS瞬态动力学分析求得理想平板简支梁跨中节点在风速U0=142 m/s时扭转模态的速度和位移时程。依据阻尼效应的物理意义，桥梁系统机械能的改变只与自激力阻尼效应项的做功有关。通过理想平板颤振导数理论解和式(13)求得扭转模态气动阻尼效应项做功时程曲线，并通过式(17)求得扭转模态机械能时程曲线。从图1中可以看出扭转模态阻尼效应项做功时程与机械能时程吻合良好，从而验证了自激力分类的合理性。

图1 U0=142 m/s扭转模态功能时程Fig.1 Work and energy time history of torsion modal at U0=142 m/s

2 颤振驱动机理研究

2.1 颤振自激力的做功时程和无功时程

(18)

(19)

(20)

2.2 从功能关系角度研究颤振驱动机理

以理想平板简支梁为例来研究桥梁颤振驱动机理，将理想平板简支梁跨中节点的速度和位移响应时程以及理想平板颤振导数理论解带入式(18～20)，求得各效应项在颤振前、颤振临界状态和颤振后做功时程和无功时程，如图2和图3所示。

图2 竖弯和扭转模态做功时程Fig.2 Work time history of vertical bending and torsional modal

图3 竖弯和扭转模态无功时程Fig.3 No work time history of vertical bending and torsional modal

3 基于瞬时做功的颤振导数识别方法

Scanlan颤振自激力模型中包含了纯刚度效应项、纯阻尼效应项和既有刚度效应又有阻尼效应的双重效应项，这些项对自激振动响应的影响不尽相同。依据能量等效原理，气动阻尼项只耗散(或增加)系统的机械能，而气动刚度项只影响振动的相位，不会影响机械能的大小。因而，若从基于自激扭矩和自激升力的做功时程来识别气动阻尼参数，可以提高气动参数的识别精度。相似地，若基于自激扭矩和自激升力的无功时程来识别气动刚度参数，也可以提高气动刚度参数的识别精度。与传统识别方法相比，基于瞬时做功的颤振导数识别方法结算结果更加稳定。

3.1 将颤振微分方程转化为功能方程

本文在建立颤振导数识别方法时，采用自激力做功的形式，通过颤振微分方程两边同时积分将运动方程转化为功能方程的形式，分别求出了自激扭矩和自激升力的做功时程和无功时程，由此建立颤振导数与系统振动响应之间的关系，然后通过加权最小二乘法求得颤振导数。通过积分运算得到扭转颤振自激力做功时程，如式(21)所示:

(21)

竖弯颤振自激力做功时程，如式(22)所示:

(22)

(23)

竖弯颤振自激力无功时程，如式(24)所示:

(24)

由于竖弯和扭转模态的位移和速度近似正交，式中系统阻尼力的无功为零。式(23、24)表明颤振自激力的无功时程等于刚度恢复力的无功时程之差。

3.2 加权最小二乘法识别颤振导数

本节以扭转模态为例具体说明颤振导数的识别过程。由式(13)、式(15)并结合式(21)、式(23)可得到颤振微分方程两边同时积分后的功能方程，如式(25)所示:

(25)

将上式写为矩阵形式:

(26)

其中

Wα,c=

(27)

(28)

Wm,c=

(29)

Wm,k=

(30)

(31)

其中n为颤振过程的采样点数，Wα,c和Wα,k表示通过振动响应计算得到的扭转自激力的做功矩阵和无功矩阵，Wm,c和Wm,k为扭转自激力各效应项瞬时的做功矩阵和无功矩阵，Aα,c为气动阻尼效应项矩阵，Aα,k为气动刚度效应项矩阵。

在式(26)中，颤振导数估计的误差分别为:

(32)

误差函数可采用如下加权形式：

(33)

(34)

由此可得颤振导数的最小二乘估计：

(35)

通过上述建立的基于自激力瞬时做功的颤振导数识别方法求得理想平板与扭转振动有关的颤振导数如图4所示。通过对比发现，本文解与理论解吻合良好，证明了上述颤振导数识别方法的可靠性。

图4 理想平板气动导数Fig.4 Aerodynamic derivatives of ideal plate

4 结 论

(3) 以理想平板为例，将基于瞬时做功的颤振导数识别方法的结果与颤振导数理论解对比发现，该方法所识别的颤振导数具有较好的可靠性，可以考虑将该方法应用到二维节段模型自由振动试验的颤振导数识别中。