李 燕

(雅安职业技术学院智信学院 四川 雅安 625000)

1 引言

麦克斯韦提出：即使不存在导体回路，在变化的磁场周围也存在一个变化的电场，这个由变化的磁场激发的电场称为感生电场.感生场强E感满足以下两个规律:

高斯定理

所以,对任何闭合曲面S，E感线是无头无尾的连续闭合曲线，E感场是无散场.

环路定理

所以,对任何闭合曲线L，其中S是以L为边线的曲面，E感是涡旋场，不能引入电位概念.

一般情况下感生电场的计算较为复杂，在多数大学电磁学教材中利用环路定理讨论了少数具有对称性感生电场的问题，例如无限长螺线管的电流随时间作线性变化时其管内外的E感问题，在讨论此问题时,部分教材利用反证法证明了螺线管管内外的E感线都是与螺线管轴线相垂直的同心圆.如图1所示.

图1为一无限长螺线管的一段，C为螺线管的横截面，L为横截面圆周长,半径为R.笔者在此利用解析法和类比法两种方法来证明E感线都是与C同心的同心圆，并在此基础上计算E感的大小，以供教学参考，如有不妥，敬请指正.

图1 无限长螺线管

2 解析法

在柱坐标下，感生电场遵从的麦克斯韦方程为

(1)

(2)

因为螺线管为无限长且是对称的，所以对r相同、θ和z不同的各点来说周围磁场的分布情况应该是一样的，也就是说感生电场大小不随θ和z变化，比较式(1)两端有

可得

从而有

Er=0

由此可见E感既没有径向分量，也没有轴向分量，只有θ分量，所以E感线都是与螺线管轴线相垂直的同心圆.下面还可根据式(2)求出Eθ的大小.

在管内，即r

式中r=0时，Eθ有限，C1=0，所以有

(3)

(4)

当r=R时，由式(3)知

故有

(5)

3 类比法

变化磁场激发的感生电场和传导电流激发的磁场都遵从高斯定理和环路定理，所以可作对比如下:

感生电场

(6)

(7)

电流的磁场

(8)

(9)

由长直圆柱形电流的磁场得

r>R时，有

(10)

r

(11)

r>R时，有

(12)

r

(13)

值得注意的是使用类比法时应满足以下两个条件：首先,j是电流密度,B为空间分布均匀的交变电流激发的磁场.其次,只有在不考虑边界的无限空间中B和E感的矢量场才能由它们的散度和旋度完全确定，否则还应给出边界条件.

4 结束语

通过以上分析可以看出，不管是教材上的反证法，还是本文中的解析法或类比法，当证明螺线管管内外的E感线都是与螺线管轴线相垂直的同心圆时，除了利用已知条件的对称性外，还要利用E感本身所遵从的定律，只有这样才能得出正确结论.