何军强 刘明生

摘要 基于环路传播延时对外差式光锁相环稳定性和环路相位误差的影响，以奈奎斯特判断准则为依据，以环路相位裕度为度量，研究了延时与环路中主要参数的关系。首先通过环路数学模型，计算出环路相位裕度。以常用一阶无源低通滤波器和一阶有源低通滤波器为代表，研究了延时与环路中自然频率、阻尼因子、环路稳定性和相位误差的关系。结果表明，实际应用中，在保证环路稳定性以及相位误差的情况下，相位裕度应控制在45°～ 60°之间，当阻尼因子为1时环路自然频率与延时乘积应处于0.138～0.266之间。同时计算出此时系统若处于最佳跟踪性能范围，环路延时应控制在0～1 ns内。

关 键 词 外差式光鎖相环;延时;相位裕度;阻尼因子;自然频率

Abstract Based on the influence of loop propagation delay on the stability and phase error of heterodyne optical phase-locked loop， the relationship between delay and parameters in the loop is studied according to the Nyquist criterion and the phase margin of the loop. Firstly， the phase margin of the loop is calculated by the mathematical model of the loop. Taking the first-order passive low-pass filter and the first-order active low-pass filter as two examples， the relationship between delay and natural frequency， damping factor， loop stability and phase error in the loop is studied. The results show that the phase margin should be controlled between 45°-60° and the product of natural frequency and delay should be 0.138-0.266 at  damping  factor  with 1， when the loop stability and phase error are guaranteed in practical application. At the same time， in order to increase the tracking performance of the system， the loop delay should be controlled within 0-1 ns.

Key words HOPLL; delay; phase margin; damping factor; natural frequency

0 引言

随着人们对大容量、远距离、高性能的通信需求，相干光通信已成为21世纪最主要的通信方式。然而相干光通信中光载波频率稳定性与接收机解调光载波相干性已成为影响相干光通信质量的制约因素。外差式光锁相环（Heterodyne Optical Phase Lock Loop，HOPLL）因能主动抑制光载波相位噪声、合成高相干光等优点，已成为相干光通信重要技术[1-2]。目前，HOPLL已应用于毫米波和太赫兹光信号合成、高分辨率光谱测量、微波光子学、光纤陀螺等领域[3-6]。2017年，Shams等[7]第一次通过实验验证HOPLL与光学频率梳发生器（Optical Frequency Comb Generator，OFCG）结合，合成具有高稳定性、低相位噪声的可调谐太赫兹光载波;2018年，Balakier等[8]首次通过光子集成电路（Photonic Integrated Circuit，PIC）实现HOPLL对光学频率梳中频线选择，筛选出具有高相干性光载波——光载波在5 kHz频率处相位噪声仅为-100 dBc/Hz;2018年，Katarzyna等[9]通过集成HOPLL和多段可调谐分布式布拉格反射激光器（DBR）电路实现DBR与参考光信号相位锁定，在1 THz调谐范围内合成高纯度毫米和太赫兹光载波——光载波在10 kHz频率偏移处相位噪声为-96 dBc/Hz等等。因此，设计高性能HOPLL环路对相干光通信系统具有重要意义。

HOPLL环路是一个具有惯性环节的线性系统[10]。因受环路负反馈控制，环路延时影响着环路输出相位和幅度。过大的延时不仅降低环路相对稳定性而且会增大环路相位误差。因此实际使用中，为增强环路稳定性和减小相位误差，通常选择降低环路自然频率。但降低环路自然频率会引发一系列级联效应，如环路捕获范围变窄、捕获时间增大、环路跟踪性能降低、相位误差变大等现象。因此，研究延时与环路稳定性以及相位误差之间关系很重要。相位裕度作为衡量环路相对稳定性的指标，应控制在合理范围内。过大的相位裕度引起系统响应变慢，过小的相位裕度易引起系统不稳定，因此环路相位裕度应设置为45°～ 60°之间。本文以奈奎斯特判断准则为依据，以相位裕度为度量，通过控制变量法分析HOPLL环路相对稳定性以及相位误差，并且对环路延时、自然频率、阻尼因子、稳定性之间关系进行具体推导，推导结果对设计高性能HOPLL具有重要意义。

1 外差式光锁相环结构

图1a）为典型外差式光锁相环结构图[11]。环路结构包括两台激光器，2×1光耦合器、光电探测器（PD）、射频放大器（SOA）、鉴频鉴相器（PFD）、低通滤波器（LPF），环路延时环节（τ）。图中一台激光器作为主激光器，其频率稳定度高，线宽窄，相位噪声小;另一台激光器作为从激光器（又称被锁激光器），从激光器线宽比较宽，相位噪声大、可调谐。

基于奈奎斯特判断准则，可以通过环路相位裕度衡量环路相对稳定性能力[16]。相位裕度，即系统处于稳定状态时，环路所能受到相位扰动的大小。由开环传递函数[Hs]，计算环路相位裕度，如式（4）所示：

相位裕度φ大小可以表示环路相对稳定能力的大小。当相位裕度为正时，环路呈现稳定状态;当相位裕度为负时，环路进入不稳定状态。由式（3）可知，环路相位裕度与环路中低通滤波器传递函数[Gs]密切相关。HOPLL常用环路滤波器有2种结构：无源低通滤波器和有源低通滤波器。

2.1 一阶无源低通滤波器

无源低通滤波器，环路结构简单且由无源器件搭建，因此环路噪聲较小。根据梅森定理[17]，由低通滤波器产生的噪声对从激光器影响较小。但无源低通滤波器增益较低，因此对环路整体增益有限。高阶低通滤波器的实现通常伴随更多环路极点的引入，严重影响环路相位域的频率稳定性。因此本文选择一阶无源低通滤波器作为环路分析模型。一阶无源低通滤波器结构如图2所示。

2.2 一阶有源低通滤波器

有源低通滤波结构具有较大环路增益，因此对低频信号具有放大作用从而达到更佳滤波效果。但同时运放内部噪声随环路叠加从而影响环路锁定时相位误差。若运放噪声偏大，则严重影响到环路锁定。高阶有源低通滤波器随着极点的增加同样影响环路频率稳定性。因此本文选择一阶有源低通滤波器作为分析模型。一阶有源低通滤波器结构如图3所示。

3 结果与分析

3.1 一阶有源低通滤波器稳定性分析

为了研究环路自然频率[ωn]和环路阻尼因子?之间关系，首先保证环路稳定性，设环路相位裕度分别为45°和60°。如图4所示。由上及下4条曲线依次表示环路延时为0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns，图中纵坐标表示环路自然频率log10 ωn。

由图4a）和图4b）可知，在相同环路延时条件ιd下，环路自然频率[ωn]并不是环路阻尼因子?的单调函数，而是随着阻尼因子?增大，环路自然频率[ωn]先增大，然后减小。在不同延时条件下，同样存在最佳阻尼因子使得自然频率最大。因此，通过选择最佳阻尼因子有利于环路动态跟踪性能。在相同阻尼因子和相位裕度下，环路延时越小，环路自然频率越大，因此减小环路延时有助于提升环路跟踪性能。对比图4a）和图4b），最佳阻尼因子随着相位裕度增大而变大，因此环路稳定性随着阻尼因子变大而增强。

由上可知，环路中存在最佳阻尼因子使环路自然频率最大。研究时延与自然频率之间关系，设环路阻尼因子为? = 1，如图5所示。图5中由上及下3条曲线分别表示相位裕度为0°，45°，60°这3种情况。相位裕度为0°表示环路相对稳定临界值。其中纵坐标表示环路自然频率lgωn。

由图5可以发现，在相位裕度相同时，环路延时越大，自然频率越小。但环路延时在0～1 ns之间，自然频率变化幅度较大，随后变化幅度相对缓慢。因此，在环路稳定前提下，为增大环路捕获带宽和跟踪性能，环路最佳延时应控制在1 ns内。在环路延时相同时，随着相位裕度增大，环路自然频率相应减小。因此，增大环路稳定性时，环路捕获范围和跟踪性能变差。

设计HOPLL，环路稳定性和相位误差均影响环路性能。由文献[20]可知影响环路相位误差因素主要包括激光器内部相位噪声、环路白噪声和探测器散粒噪声。其中激光器相位噪声和探测器散粒噪声与环路自然频率与延时乘积有关，即ωnτd。因此有必要研究ωnτd与相位裕度之间关系。设阻尼因子? = 1，由式（8）计算两者之间关系。如图6所示，图中相位裕度单位为rad，横坐标k = ωnιd。

由图6发现随着环路k增大，相位裕度线性减小因此环路稳定性降低。当k = 0.647时，环路相位裕度为0，处于临界稳定范围。因此若使相位裕度处于45°～60°之间，k应处于0.138～0.266之间。同时，由文献[21]计算此时环路相位标准方差小于10°。

为更直观表示自然频率、延时与相位裕度之间关系。设? = 1，如图7所示。图中纵坐标为相位裕度，横坐标分别为环路延时与自然频率。当纵坐标相位裕度为负值时，环路处于不稳定状态，无法正常工作。因此为保证HOPLL具有较高稳定性，应设计合理环路时延与自然频率。

3.2 一阶无源低通滤波器稳定性分析

通过控制变量法分析一阶无源低通滤波器环路稳定性。设环路相位裕度为45°和60°，结合式（6），计算出阻尼因子与自然频率关系，如图8所示。图8a）表示环路相位裕度为45°，图8b）表示环路相位裕度为60°。由上到下四条曲线分别表示延时0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns。纵坐标表示自然频率lg ωn，

由图8a）、b）发现当环路延时相同时，自然频率随阻尼因子变大而增大。因此，环路跟踪性能随阻尼因子变大而增强。但环路跟踪性能增强时，自然频率与延时乘积增大，因此环路相位误差增大，故环路动态跟踪性能与相位误差之间存在矛盾。当阻尼因子相同时，自然频率随着环路延时变小而增大。因此可以通过减小环路延时增强环路动态跟踪性能。

为研究环路延时与自然频率关系，设阻尼因子为1，以相位裕度60°为参考。如图9所示，图中纵坐标表示自然频率lgωn。

由图9发现环路自然频率随延时增加而减小。当延时处于0～1 ns之间，自然频率衰减幅度较大，大约衰减一个数量级。因此过大延时导致环路动态性能急剧变差。为保证系统具有最佳捕获性能，理想环路延时应控制在1 ns内。

为更直观表示一阶无源低通滤波器环路延时、自然频率和相位裕度关系，如图10所示。图10中阻尼因子为1，纵坐标表示环路相位裕度、横坐标表示延时和自然频率。

当环路相位裕度为正时，环路处于稳定状态。由式（6）与图10分析，若延时与自然频率设置不合理，环路容易脱锁从而影响系统正常工作。对比图7和图10，发现一阶无源低通滤波器在相同延时与自然频率下，环路相位裕度优于一阶有源低通滤波器相位裕度。但实际情况中，为增大环路增益在相位噪声允许情况下，选择有源低通滤波器作为环路滤波结构。

实际设计HOPLL不仅考虑到环路带宽、阻尼因子和环路延时，同时也应考虑到半导体激光器线宽[22]。过大线宽需要更小传播延时。由实验测试，引用文献[22]，由200 mm光纤回路产生1 ns传播延时计算，设计线宽为3 MHz稳定HOPLL且标准相位误差10°时，延时须控制在1 ns。

4 结论

HOPLL中环路延时影响环路相对稳定性及相位误差。本文以相位裕度衡量环路稳定性，以常用两种低通滤波结构：一阶无源低通滤波器和一阶有源低通滤波器为研究模型，分析环路自然频率、阻尼因子、延时与稳定性以及相位误差关系。结果表明，对于一阶有源低通滤波器，环路存在最佳阻尼因子使环路自然频率最大;对于一阶无源低通滤波器，环路自然频率随阻尼因子变大而增大。但增强环路跟踪性能时，环路相位误差逐渐增大。两种环路结构性能均受环路延时影响。环路自然频率与延时乘积k影响环路稳定性以及相位误差。随着k增大，环路相对稳定性降低、相位误差增大，因此k值应处于合理范围。设计HOPLL相位裕度应控制在45°～ 60°之间。当环路滤波器为一阶有源低通滤波器且环路阻尼因子为1时，环路自然频率与延时乘积应处于0.138～0.266之间。同时为使环路具有较大跟踪范围，环路延时应处于1 ns内。

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