杨 梦 雷 博 史露娜 兰 蓉

(西安邮电大学通信与信息工程学院 陕西 西安 710121)

0 引 言

图像分割是图像处理过程中的关键步骤[1]。常用的有基于阈值、区域、边缘及聚类的图像分割方法[2-5]。阈值化算法因实现简单且性能稳定，成为应用相对较广的算法之一。

阈值化算法分为单阈值分割算法和多阈值分割算法，当图像包含多个目标时，单阈值分割算法不能满足实际需求。因此，多阈值分割算法受到广泛关注[6-8]。然而，传统多阈值分割算法采用穷举搜索法，计算复杂性随阈值数呈指数形式增长[9-10]。因此，研究人员将元启发式算法应用于多阈值分割算法[11-12]，常用的有粒子群算法、人工蜂群算法和遗传算法[11-13]等。由于粒子群算法参数少，易于实现，被广泛讨论[11，14]。

图像边缘具有渐变特性，且受成像设备影响，使得图像具有一定的模糊性，因此，将模糊理论应用于图像分割具有合理性。Bandrian[15]引入K-L散度衡量两个模糊集之间的差别，并将其应用于图像分割。兰蓉等[16-17]给出α-型模糊散度并将其用于图像分割,然而，这些算法均未讨论复杂图像的多阈值分割问题。在基于模糊理论的图像分割算法中，需要选择隶属度函数将图像转换成模糊集。由于隶属度的选择取决于专家偏好，易受主观因素影响，文献[18]提出加权平均算子法构造隶属度函数，实现信息的均衡化处理，但该算法假设每个隶属度函数的权重是相同的，会忽略一些有价值的信息。

本文提出基于标准离差法的模糊散度多阈值图像分割算法。该算法将常用的单阈值隶属度函数推广至多阈值形式，利用标准离差法，为选取最佳阈值的准则函数构造一种新的多阈值隶属度函数，并采用粒子群优化(ParticleSwarmOptimization，PSO)算法求解准则函数的最优阈值，实现图像多阈值分割。实验结果表明，本文算法可以实现复杂图像的多阈值分割，且性能优于对比算法。

1 相关工作

1.1 模糊集

定义1 设X为论域，则X上的模糊集A可以表示为：

A={(x,μA(x)):x∈X}

(1)

式中：映射μA:X→[0,1]称为模糊集A的隶属度函数。

1.2 模糊散度单阈值分割算法

模糊散度单阈值分割算法中,选取最佳阈值的准则函数为α-型模糊散度，具体如下：

(2)

式中：α>0且α≠1；g∈{0,1,…,L-1},L为图像最大灰度级；T为分割阈值；μA(g;T)是将图像转换成模糊集的单阈值隶属度函数。当式(2)取最小值时对应的T为最佳分割阈值。

1.3 PSO算法

(3)

(4)

w(t)=wmax-(wmax-wmin)×t/G

(5)

式中：r1和r2均为[0,1]上的随机数；c1和c2均为学习因子；w是惯性因子；t和G分别为当前迭代次数和最大迭代次数。

2 算法设计

2.1 多阈值隶属度函数

假设T1,T2,…,Tn-1是将图像I分为n类的n-1个阈值。常用的单阈值隶属度函数有Gamma型[21]、限制等价型(Restricted Equivalence Function,REF)[22]和改进指数型[23]，本文将其推广到多阈值形式。具体形式如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，c和m1，m2,…,mn的计算如下：

(11)

(12)

式中：gmax和gmin分别为图像的最大和最小灰度值；T0=0，Tn=L-1。

2.2 基于标准离差法构造隶属度函数

采用模糊集(即隶属度函数)表示图像时，单一隶属度函数的适应性较差，且隶属度函数的选择取决于专家的偏好。为了客观评价不同隶属度函数对图像分割的重要性，本文将2.1节所推广的5种多阈值隶属度函数进行线性加权，构造一种新的隶属度函数，其中每个隶属度函数的权重用标准离差法[24]客观计算。具体如下：

(13)

(14)

式中：ki为第i个隶属度函数的权重；σi为第i个隶属度函数在整个灰度级上的方差；μA(g;T1,T2,…,Tn-1)为标准离差法构造的新隶属度函数。

2.3 算法步骤

本文仍然选取α-型模糊散度作为选取最佳阈值的准则函数。准则函数中的隶属度函数不再是单一的单阈值隶属度函数，而是基于标准离差法构造的多阈值隶属度函数μA(g;T1,T2,…,Tn-1)。模糊散度具体计算如下:

D(A,B;T1,T2,…,Tn-1)=

2α-1(1-μA(g;T1,T2,…,Tn-1))+

(15)

当式(15)取最小值对应的阈值为最优阈值，即:

(16)

传统多阈值分割算法采用穷举法搜索最佳阈值，计算复杂性随阈值数呈指数形式增加。因此，本文用PSO算法优化式(15)表示的多阈值α-型模糊散度。基于标准离差法的模糊散度多阈值图像分割算法的具体步骤如下：

步骤1 输入待分割图像，若为彩色图像，则将其转化为灰度图像；统计灰度直方图；计算最大灰度值gmax和最小灰度值gmin。

步骤2 设置PSO算法的各参数，并随机初始化粒子群的位置和速度，位置的范围为[gmin,gmax]，并对位置按升序排序且赋值给阈值。

步骤3 用标准离差法计算2.1节5种多阈值隶属度函数的客观权重ki，并根据式(13)得到新的隶属度函数，再由式(15)计算多阈值α-型模糊散度作为PSO算法的适应度函数，通过极小化适应度函数确定个体最优和全局最优的适应度值与位置。

步骤4 根据式(3)-式(5)更新粒子的惯性因子，速度与位置，并将更新的位置按升序排序。

步骤5 判断是否满足终止条件，若满足，输出全局最优位置作为最优阈值实现图像的多阈值分割；若不满足，则返回步骤 3。

3 实验结果与分析

本文所有实验环境为：Windows 8；Intel Core-i5 CPU；4.00 GB RAM；MATLAB R2014a。

3.1 对比算法和参数设置

本文选择Berkeley BSD500[25]标准图库中的#55067、#8068，UCMerced_LandUses数据集[26]中的合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar,SAR)图像#runway22、#airplane00、#airplane20和自然图像#mountain进行多阈值分割，分割阈值分别为2、2、2、3、3、4。

为验证本文算法的有效性，设计6种对比算法，即基于PSO的最大熵、指数熵、Tsallis熵、模糊熵、K-L散度和最大类间方差(Otsu)的多阈值图像分割算法。对于Tsallis熵，本文取参数q=0.8[27]。本文算法中，参数α的取值并没有理论指导，因此取值与文献[17]一致，即α=0.5。PSO算法具体的参数设置如表1所示。

表1 参数设置

3.2 性能指标

为了客观评价本文算法的性能，选择如下3种性能指标。

(1) 峰值信噪比。峰值信噪比[27](Peak Signal to Noise Ration,PSNR)值越大，表示失真越小,图像分割质量越好。PSNR具体定义如下:

(17)

(18)

(2) 均匀性测度。均匀性测度[28](Uniformity Measure，UM)值越大，表示图像分割效果越好。UM的定义如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

(3) 分类误差。分类误差[29](Misclassification Error，ME)值越小，表示被错分的像素越少，分割精度越高。ME的定义如下：

(23)

式中：mo1,mo2,…,mon和mT1,mT2,…,mTn分别表示标准分割图像和实际分割图像对应区域的像素。

3.3 多阈值分割实验

所选6幅测试图像的多阈值分割结果如图1-图6所示。表2列出了7种算法搜索到各测试图像的最优阈值。表3列出了7种算法对各测试图像的性能指标值。

图1 #runway22图像的二阈值分割结果

图3 #8068图像的二阈值分割结果

图4 #airplane00图像的三阈值分割结果

图5 #airplane20图像的三阈值分割结果

图6 #mountain图像的四阈值分割结果

表2 7种算法对各测试图像的最优阈值组合

表3 7种算法的性能指标对比

续表3

在图1-图6中，(a)和(b)分别为原始图像和标准分割图。由于UCMerced_LandUses数据库中的图像和自然图像没有Ground-Truth，因此选取人工分割图作为标准分割图。(c)-(h)依次为基于PSO的最大熵、指数熵、Tsallis熵、模糊熵、K-L散度和最大类间方差(Otsu)算法的分割结果。(i)为本文算法的分割结果。由图1-图5可以看出，本文算法的分割结果更接近于标准分割，图6(d)-(e),(h)-(i)的分割结果视觉效果上差异较小，均接近标准分割。

进一步观察表3可以看出，对于6幅测试图像，本文算法的PSNR值均优于对比算法。对于UM，基于PSO的最大类间方差分割算法取值最优，这是由于该算法选取最佳阈值的准则是分割后图像的类间方差最大，类内方差最小，而一个区域的均匀性与方差成反比。由此可知，该算法的UM值最优。对于图像#8068，本文算法的UM值与最优UM值都是0.992 4；对于图像#runway22、#airplane00、#airplane20和#mountain，本文算法的UM值与最优UM值误差最小，分别低于最优UM值0.000 9、0.000 2、0.000 5、0.000 3；对于图像#55067，本文算法的UM值低于最优UM值0.001 8，但基于PSO的模糊熵分割算法对应的UM值低于最优UM值0.000 4，误差最小。对于ME值，本文算法在图像#runway22、#55067、#airplane00、airplane20和#mountain上均可取到最优值，说明本文算法的误判像素较少，但图像#8068的ME值不及基于PSO的K-L散度分割算法对应的ME值。

为进一步分析算法的性能，本文选取12幅测试图像统计PSNR、UM和ME的平均值，对7种算法的性能进行客观分析。12幅测试图像具体包括Berkeley BSD500图库中的#8068、#55067、#241004,UCMerced_LandUses数据集中的#runway22、#airplane00、#airplane20、#airplane36、#airplane67、#airplane93、#storagethank54,MATLAB R2014a图库中的#MRI和自然图像#mountain。统计结果如图7-图9所示。

图7 7种算法的PSNR值对比

图8 7种算法的UM值对比

图9 7种算法的ME值对比

由图7可以看出，本文算法获得较优的PSNR值。经之前的理论分析，基于PSO的最大类间方差分割算法对应的UM值最优。由图8可见，本文算法的UM值与最优UM值误差最小。图9显示本文算法的ME值最小，说明本文算法的误判像素较少，分割精度较高。

4 结 语

由于图像具有模糊性且单阈值分割算法不能满足实际需求，同时考虑单一隶属度函数适应性较差的问题，本文提出基于标准离差法的模糊散度多阈值图像分割算法。首先，将常用的单阈值隶属度函数推广至多阈值形式，采用标准离差法构造新的隶属度函数，并推导出多阈值α-型模糊散度计算式。其次，用PSO算法优化α-型模糊散度以降低多阈值分割算法的运行时间。实验结果表明，本文算法的PSNR值和ME值均优于对比算法，对于性能指标UM，本文算法与最优的UM值误差最小，提高了分割精度。