魏学军

二项式定理的有关知识是每年高考必不可少的内容，往往以一道选择题或填空题的形式出现.“年年岁岁花相似”，考查的落脚点总是与二项展开式的通项公式和二项式系数的性质相关. 二项式公式看似单一，但“岁岁年年题不同”，面对试题，须详究细察，分析揣摩，方可灵活应用，游刃有余. 本文拟就高考中有关二项式定理应用的试题作“全扫描”，并进行分类分析与解，旨在把握命题方向，探索解题规律，揭示解题方法.

一、求展开式中的某一指定项

例1. （2x3-■）7的展开式中常数项是（ ）

A. 14 B. -14 C. 42 D. -42

分析与解：Tr+1=■（2x3）7-r（-■）r=（-1）r■·27-r·■，由题意知21-■=0，得r=6，即展开式中常数项是第7项，T7=（-1）6 ■ ·2=14，故选A.

例2. 在（x+■）（1-x）4的展开式中，常数项是________.

分析与解：第一个括号取■，第二个括号为■（-x）1，∴ 常数项是■×■（-x）1=-8.

解题方略：直接利用通项公式进行求解.

例3. （x2-3x+■）（1-■）5的展开式中常数项为（ ）

A. -30 B. 30 C. -25 D. 25

分析与解： （1-■）5的通项为Tr+1= ■（-1）r（■）r，（x2-3x+■）（1-■）5=x2（1-■）5-3x（1-■）5+■（1-■）5，根据式子可知当r=4或r=2時有常数项，令r=4，

∴ T5=■（-1）4（■）4; 令r=2，∴ T3=■（-1）2（■）2， 故所求常数项为■ - 3 × ■=5-30=-25，故选C.

解题方略：求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：（1）将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子;（2）根据条件找到符合条件的二项式的项;（3）利用二项式的通项求出符合条件的项;（4）整合后最终得出所求.

例4. 在二项式（■+■）n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 18

分析与解：

【解析】在二项式（■+■）n的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n，∴ A=4n，二项展开式的二项式系数和为2n，∴ B=2n，∴4n+2n=72，解得n=3，∴（■+■）n=（■+■）3的展开式的通项为Tr+1= ■（■）3-r（■）r=3r ■ ■，令■=0得r=1，故展开式的常数项为T2=3 ■ =9，故选B.

二、求展开式中某一指定项的系数

例5. （x-■）8展开式中x5的系数为_________.

分析与解：利用公式Tr+1=■an-r·br求得Tr+1=（-1）r·■·■.

令8-■r=5，得r=2，进而得x5的系数为28.

例6. （2x+■）4的展开式中x3的系数是（ ）

A. 6 B. 12 C. 24 D. 48

分析与解：Tr+1=■（2x）4-r·（■）r=■·24-r·x4-r·■=■·24-r·■由题意设4-■=3，∴ r=2即展开式中含x3的项是第3项，其系数为■·22=24，故选C.

例7. 已知（■+■）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_________（以数字作答）

分析与解：由展开式得通项Tr+1=■·■，∴各项系数和为■ + ■ + … + ■=2n=128，

∴n=7，由■n-■r=5知r=3，则■=35，故填35.

解题方略：分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同. 常规解法是利用通项公式Tr+1=■an-rbr，先确定r，再求其系数.

例8. （1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）

A. 56 B. 84 C. 112 D. 168

分析与解：根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为■■=168，故选D.

三、求两个二项式积的展开式中某一指定项的系数

例9. 在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是（ ）

A. -297 B. -252 C. 297 D. 207

分析与解：由题意可知，只需求出（1+x）10展开式中x5与x2的系数分别是 ■ 、■ .

所以（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数为 ■ - ■ =207，故选D.

解题方略：利用两因式展开式相应项系数配对的方法.

四、求展开式中某些项系数的和

例10. 若（1-2x）2019=a0+a1 x+a2 x2+…+a2019 x2019（x∈R），

则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2019）=_________. （用数字作答）

分析与解：（赋值法）令x=0，得a0=1.

（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2019）=2019a0+（a1+a2+…+a2019）

=2018a0+（a0+a1+a2+…+a2019），令x=1，得a0+a1+a2+…+a2019=-1，

∴（a0+1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2019）=2017.

解题方略：赋值法.

例11. 若（1-x）5=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+a5 x5，则a0-a1+a2-a3+a4-a5=（    ）

A. 0 B. 1 C. 32 D. -1

分析与解：

【解析】由二项展开式的通项公式Tr+1=■（-x）r=■（-1）rxr，可知a1，a3，a5都小于0. 则a0-a1+a2-a3+a4-a5=a0+a1+a2+a3+a4+a5. 在原二项展开式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0. 故本题答案选A.

五、求展開式中系数满足某些特殊要求的项数

例12. 由（■x+■）100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（ ）

A. 50项 B. 17项 C. 16项 D. 15项

分析与解：设展开式中第r+1项的系数为有理数，则Tr+1=■ ■ x100-r ■= ■ ■ ■ x100-r.

依题意r既然为偶数又为3的倍数，即r为6的倍数，且0≤r≤100，∴ r共有17个值，故选B.

解题方略：先将展开式的通项进行整理，再令其幂指数为整数，进而求出所需项数.

六、求二项式中所含参数的值

例13. 若在（1+ax）5的展开式中x3的系数为-80，则a=___.

分析与解：∵T4=■（ax）3=-80x3，∴10a3x3=-80x3，∴10a3=-80，

∴ a3=-8，∴ a=-2.

例14. （x+1）3+（x-2）8=a0+a1（x+1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，则a6=__________.

分析与解：令x-1=t，则（t+2）3+（t-1）8=a0+a1t+a2t2+…+a6t6+…+a8t8，

设（t-1）8的展开式含有t6项，Tr+1 = ■ t8-r（-1）r，令8-r=6，r=2，T3 = ■ t6 = 28t6，所以a6 = 28.

解题方略：利用展开式的通项公式，根据题意建立方程，求出参数的值.

七、求二项式的幂指数

例15. 若（■+■）n展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

分析与解：Tr+1=■（■）n-k（■）k=■·2k·■. 其中■=0，即n=■k. 当k=6时，n=10. 故选C.

例16. 若（x3+■）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.

分析与解：Tr+1= ■ x3n-3r·■= ■ ·■. 令3n-■r=0，得r-■n. ∴n为3的倍数. 又由 ■ =84，验证：n=3时，■ = 3≠84;当n=6时，■ =15≠84;当n=9时，■ = ■=84.

解题方略：依条件建立指数的方程.

八、与数列交汇

例17. 若（1-2x）9展开式的第3项为288，则■+■+…+■的值是_________.

分析与解：T3 = ■ （-2x）2=288，∴ x=■. ∴■+■+…+■= 2[1-（■）n].

九、与不等式交汇

例18. 在（x-■）8的展开式中，含x2项的为p，（2x+■-■）3的展开式中含x-2项的为q，则p+q的最大值为_______.

分析与解： （x-■）8展开式的通项公式为：Tr+1= ■ x8-r（-■）r x-r= ■ （-■）rx8-2r，

令8-2r=2可得：r=3，则p = ■ （-■）3 x8-2×3=-7x2，

结合排列组合的性质可知q= ■ （■）2（-■）=-■，

由p+q=-7x2-■=-（7x2+■）≤-2■=-4■，

当且仅当x2=■时等号成立.

综上可得：p+q的最大值为-4■.

解题方略：（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项;（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 求最大最小值时，仍然需借助函数、不等式等知识获得.

十、与概率交汇

例19. 若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_________. （结果用分数表示）

分析与解：展开式中所有系数依次为 ■、■、■、■、■、■、■、■、■、■、■. 在这11个数中■、■、■、■为奇数，其余均为偶数，故所求的概率为■.

解题方略：解决此类问题关键要先找出符合要求的对象. 本题因数目不多，故既可用通项公式一一列举，也可用本文例13中的二项式系数表（杨辉三角）观察，从而使问题得到解决.

十一、渗透在研究性学习课题的探究之中

例20. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中第____行中从左至右第14与第15个数的比为2 ∶ 3.

分析与解：设第n行中从左至右第14与第15个数的比为2 ∶ 3，

则依题意可得：■ ∶ ■ = 2 ∶ 3，解得n=34.

解题方略：分析所给题设特征，恰当使用二项式展开式的通项公式.

二项式定理的学习或复习应重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质、二项式展开式中项的系数特征要弄懂原理，注意分辨通解通法，牢固掌握，不必追求解难题、寻巧解.

【归纳领悟】

1. 二项式展开式的性质：

（1）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.

即：■ = ■，■ = ■，…，■ = ■.

（2）如果n是偶數，则二项式的展开式的项数为奇数，且中间一项（第■+1项）的二项式系数最大;如果n是奇数，则二项式的展开式的项数为偶数，且中间两项（第■项与第■+1项）的二项式系数相等并且最大.

（3）所有二项式系数的和等于2n.

即■ + ■ + … + ■ = 2n.

（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

即：■ + ■ + … = ■ + ■ + … = 2n-1.

2. 二项式系数与项的系数的区别

如对（a+bx）n（a，b∈C）的展开式，第r+1项的二项式系数为■，而第r+1项为■ an-rbr.

3. 通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在应用通项公式时要注意以下几点：

（1）分清■an-kbk是第k+1项，而不是第k项.

（2）在通项公式Tk+1=■an-kbk中，含有Tk+1、■、a、b、n、k这六个参数，只有a、b、n、k是独立的，在未知n、k的情况下，用通项公式解题，一般都需首先将通项公式转化为方程（组）求出n、k，然后代入通项公式求解.

（3）求二项式展开式中的一些特殊项，如系数最大的项、常数项等，通常都是先利用通项公式，由题意列方程，求出k，再求所需的某项;有时则需先求n，计算时要注意n和k的取值范围以及它们之间的大小关系.

（4）二项式定理的一个重要用途是做近似运算：

当n不很大，x比较小时，（1+x）n≈1+nx.

（5）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧.

总之，二项式定理的学习或复习应重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质、二项式展开式中项的系数特征要弄懂原理，注意分辨通解通法，牢固掌握，不必追求解难题、寻巧解.

【本文系北京市教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的高中数学核心概念课堂教学的反思与重构研究”（编号：CDDB19238）阶段性研究成果】

责任编辑 徐国坚