董善清 李德安

经过对近几年高考试题及各地模拟试题的研究与分析，不难发现，函数与导数的压轴题在函数单调性的讨论、函数零点、极值点、不等式证明和恒成立（或有解）等问题上出现的频率越来越高。以上这些考点的呈现，对同学们来说再熟悉不过了，但得分却较低。究其原因，它既考查分类讨论、等价转化、数形结合、方程与不等式等思想，也考查放缩法证明不等式、构造函数法解决问题等。同时，对同学们分析问题、解决问题、融会贯通的能力要求较高。本文选取各地有代表性的高三模拟题或模拟题的改编形式，对导数压轴题的部分类型进行剖析，并分析其本质所在，以飨读者。

一、利用导数求解恒成立问题

总结反思：本题主要考查了导数在恒成立、不等式证明方面的应用，第（l）问采用分离参数的方法，转化为我们熟悉的函数最值问题，若不分离参数，也可以直接带参分类讨论进行解答，读者可自行尝试解答。第（2）问的难点是如何能将参数m特殊化，以及对x的赋值，结合第（l）问与第（2）问要证明的结论，恰当的转化，合理的赋值是关键。

二.利用导数证明不等式

分析：（l）本题要由导函数求出原函数，关键是准确记忆导函数公式，同时还要特别注意常数的导数为零，这样就很容易求出原函数的解析式。再利用函数单调性证明不等式即可。

总结反思：对于第（2）问的证明，我们要有意识地利用第（l）问的结论，还要在平时的学习中，有意识地掌握记忆一些能够用作放缩依据的结论，比如当x>O时，有x>sinx，能看到这一点，我们只需构造函数，利用函数单调性即可证明。

三、利用导数求解存在性问题

分析：（l）我们知道，要求函数的最值，要么根据特殊类型函数值域的求法，要么知道函数的单调性，而对于由基本初等函数构成较为复杂的复合函数的最值问题，通常先确定函数的单渊性，而求单调性的常用方法是求函数的导函数。本题先求得导数f'（x），然后对a进行分类讨论，得到f（x）的单调区间，再求，f（x）的最小值。

总结反思：第（l）问属于常规题，利用导数求函数的单调区间和最值，很容易求解;第（2）问要注意区分恒成立和存在性问题的不同之处，同时也要进一步熟悉求参数范围的方法，一是带着参数讨论，二是分离参数。当然，若在第（l）问的基础上不分离参数，直接求…f（x）+a的最小值亦可。由第（l）问可知，f（x）^{min=-e_a-3，故f（x）+a的最小值为-e_a-3+a，从而只需-e_a-3+a a-3，因为a>0，所以In a1，In 5<2，可知a≥5。}

四、利用导数求解函数零点个数问题

分析：（l）利用导数法判断函数的单渊性，对函数f（x）进行求导，利用分类讨论法求出函数，f（x）的单调性。

（2）本题可以先分离常数，进而转换为两函数图像交点个数问题，问题迎刃而解。总结反思：本题第（l）问利用导数法研究函数的单渊性;第（2）问通过分离参数构造函数，再利用分类讨论思想研究函数零点的问题，意在加强同学们的化归与转化能力。

五、利用导数单调性、放缩法证明不等式

分析：（l）涉及函数唯一零点问题，我们很容易想到函数零点存在性定理，再借助于函数单调性，问题可解。

（2）关键在于如何由f（x¹）=f（x²）转换到构造函数g（x）=x-slnx，再利用放缩法去掉“sin x”，这需要我们在平时多注意积累，能意识到正弦函数与对数函数在一起是很难化简运算的。

总结反思：第（l）问考查函数单调性、函数零点存在性定理，同时也要注意多观察端点值的正负，这是一项很重要的基本功;第（2）問关键是利用放缩法去掉“sin、x”，再构造函数证明不等式，考查同学们的转化与化归思想。放缩得到 。下面证明 即可。其中 平均数，该不等式为对数平均不等式，是应用较广的不等式，其证明方法也是证明不等式的常用策略。

利用导数解决函数的综合问题是常见的、有效的途径，如何有效地利用是难点所在，其突破的关键是要有拨云去雾显现…本质的能力。解题的核心是能够构造出“合理”的函数，而这一“合理”的函数如何构造？可以分离参数构造，可以适当放缩后构造，可以选取变量构造，亦可以围绕零点或极值点建立等式构造等，要在解题综合运用过程中加以领会体悟。唯有如此，才能真正地发挥出导数的力量。

（责任编辑 王福华）