徐静逸

数学教学的过程就是学生与文本、与他人、与编者的融合过程。对数学知识的把握并非学生数学学习的终极目的，从某种意义上说，学生的数学学习更多是为了发展学生的数学思想方法，丰富学生的数学活动经验，提升学生的数学学习力。对于学生来说，数学理解既有外在的行为表现，又有内在的心理表征。为理解而教，应当成为学生数学学习向学科本身回归的重要标识。

一、心理图式：通向“理解”的数学教学原点

为了促进学生的数学理解，教师不仅要基于学生原有认知结构，更要关照学生原有心理图式。学生的认知图式，不是知识的线性累积，而是知识结构在学生心理的整体性组织。数学理解应基于学生的心理图式，并致力于发展学生的心理图式，而心理图式是通向“理解”的数学教学原点。

比如教学苏教版四年级下册“三角形的内角和”，为了激活学生的心理图式，让学生的数学学习呈现出一种连续性、自然性，笔者在教学时，从学生的心理图式出发，首先呈现一个平角，学生迅速说出度数。然后，将平角动态演变为钝角、直角、锐角等，在变化成锐角的时候，笔者让学生猜测度数，再让他们用自己的方法进行测量。在此基础上，笔者出示一个三角形，学生自然能从角的视角来思考、探究三角形的特征。在通过测量探究出三角形的内角和为180度后，有学生就试图将三角形的三个内角合并成一个平角。学生在小组研讨、交流中，就能生成撕角法、折角法这些经验性、朴素性的方法。

學生的心理图式是学生数学理解的根基，也是学生数学理解的前提。数学理解基于学生的心理图式，同时又能发展学生的心理图式。为了能有效地触摸到学生的心理图式，教师不妨进行学情前测，整理归纳出学生的已知和未知，从而将教学的有限时空留给未知的探索，真正落实“以学定教”的原则。

二、心理表象：通向“理解”的数学教学核心

“心理图式”是一种稳定、持久的心理结构范式，而心理表象是学生在建构数学新知时，对抽象化、形式化、符号化的数学知识的一种生活化、经验化加工。在数学教学中，心理表象就是学生的数学学习对象在心理上的表示形态。在数学学习中，学生不仅运用数学符号进行思维，更要运用数学表象进行数学思维、想象。

心理表象的形式是多样化的，既包括学生的操作表象，又包括图形表象、言语表象等。如教学苏教版三年级上册“分数的初步认识（一）”，教师就可以从多个维度引导学生操作，比如物体的操作、图形的操作，从而帮助学生获得分数的操作表象、图形表象。同时，引导学生用言语描述，从而让学生获得言语表象。如笔者在教学中，根据学情调查，发现学生基本上都能领会“半个”用小数0.5表示或者用分数[12]表示，但至于为什么“半个”可用小数0.5和分数[12]来表示，绝大多数学生都不能回答。为此，笔者在教学中，着重引导学生对物体或者图形进行平均分。借助表象来进行思维，学生深刻认识到：平均分的总的份数就是分母，表示的份数就是分子。在数学教学中，表象因人而异、因事而异。通过表象进行思维，便于思维的集中，便于思维的高效运转。

心理表象的建立需要经历逐渐内化。很多时候，学生在初始的数学学习中，其表象是模糊的、不稳定的，而伴随学习的逐步深入，学生的表象逐步清晰、稳定。在数学教学中，教师要引导学生经历观察、操作、比划、想象、验证等全过程，逐步将实物转化为学生头脑中的表象。

三、认知结构：通向“理解”的数学教学深化

学生的数学认知结构的建立、完善是通向“理解”的数学教学的旨归、目的，也是通向“理解”的数学教学的深化。从某种意义上说，学生的数学学习就是一个认知结构的组织过程。教师不仅要引导学生经历，让学生在经历中感受、体验，更要引导学生思考、辨析、探究，还要引导学生反省、审视，将自己的认知过程作为一种认知，这就是“元认知”。通过认知结构的不断完善，学生的数学认识逐步从肤浅、狭隘、片面走向深刻、广阔和全面。

在数学教学中，教师要引导学生积极反思，让自己能“脱身”出来。比如教学苏教版五年级下册“三角形的面积”时，笔者引导动手操作，通过“剪拼法”“倍拼法”，使学生理解三角形的面积公式。在此基础上，笔者引导学生比较平行四边形的面积公式推导、三角形的面积公式推导，从而形成“转化”的推导思想。借助这样的思想方法，学生能自主探究梯形的面积公式，并形成对图形面积的整体性认知，建构认识结构。学生不仅能明晰图形的面积推导之间的逻辑关系，更为重要的是，学生形成了转化的数学思想，掌握了剪拼、倍拼的数学方法，形成了平移、旋转的数学策略。这种较之于具体的数学知识的数学思想方法，更能内化为学生的数学素养，转化为学生的数学学习力。

学生的数学认知结构是一个不断组织化、逻辑化的过程。在这个过程中，教师要引导学生将认知结构通过反省抽象提升到更具普适性的、高水平的结构。对于学生而言，数学认知结构的完善是一个动态的螺旋上升的过程，在这一过程中，学生的数学理解不断走向深入。◆（作者单位：江苏省苏州市吴江实验小学太湖校区）