刘华荣

(江苏省泰州市溱潼中学，225508)

转化法指在处理问题时,把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式.常见的转化有:常量与变量的转化、一般与特殊的转化、正与反的转化、相等与不等的转化、实际问题与数学模型的转化、平面几何与立体几何的转化、数与形的转化、数学各个分支间的转化等.下面分类举例说明.

一、常量与变量的转化

例1对任意的|m|≤2,函数f(x)=mx2-2x+1-m恒为负,求x的取值范围.

评注本题如果以x为主元,正面处理是含参的一次、二次函数问题，难度较大.以m为主元,问题转化为线性问题,数形结合可轻松求解，体现了常量与变量之间的转化关系.

二、一般与特殊的转化

评注解法1为常规思路，采用角化边使问题解决，对三角运算有一定的要求；解法2以特殊代替一般，在定值问题中可起到事半功倍的作用.

三、正与反的相互转化

例3已知函数f(x)=2x2-ax+lnx在定义域内为单调函数,则a的取值范围为______.

分析正面直接处理时，问题等价于f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,+∞)内恒成立，解题过程较复杂.采用间接法,可以先考虑函数不是单调函数的情况,求得a的范围,再取补集.

令u(x)=4x2-ax+1,则

解得a>4.再取补集，得所求a的取值范围是(-∞,4].

评注一般含有否定性词语的命题,或含有“至多”、“至少”等词的命题,如果正面的解题的情况较多的话,我们可以尝试从反面考虑,最后取答案的补集,也是我们常说的“正难则反”.

四、相等与不等的转化

评注由已知向量等式挖掘……