张美健

（中建石化工程有限公司，江苏 南京 210000）

0 引 言

为了确保便携式电子设备的可靠、高效工作，为其供电的电源模块应具有快速的负载响应速度。开关变换器的传统脉冲宽度调制控制技术（如电压型控制[1]和电流型控制[2]）受控制环路响应速度的限制，无法获得快速负载响应速度。相较于传统脉冲宽度调制控制技术，V2恒定导通时间控制技术具有快速的负载动态响应速度、轻载效率高等优点[3]，可以满足便携式电子设备等对负载响应速度的要求，在工业界和学术界得到了广泛关注[4-6]。

然而，对于V2-COT 控制Buck 变换器，当输出电容等效串联电阻（Equivalent Series Resistance，ESR）较大时，变换器工作在稳定状态；当输出电容ESR 较小时，变换器中存在次谐波振荡现象，导致其工作在不稳定状态[4]。

为了分析V2-COT 控制Buck 变换器的稳定机理，将采用文献[7]提出的分析方法，基于扰动引起的电感电流变化和输出电容电荷变化，推导次谐波振荡现象产生的临界条件。进一步，通过建立V2-COT 控制Buck 变换器的分段线性模型，通过分岔图分析变换器的稳定机理。

1 V2-COT 控制 Buck 变换器

1.1 工作原理

V2-COT 控制Buck 变换器的原理图和主要稳态工作波形如图1 所示。从图1 可以看出，输出电压纹波与误差放大器输出的误差信号vc进行比较产生触发信号，并与导通定时器（On Timer）通过RS 触发器实现对开关管S 的控制。图1 中，误差信号vc为：

图1 V2-COT 控制Buck 变换器

如图1（b）所示，当输出电压vo下降到误差信号vc时，RS 触发器被置位，开关管S 导通，输出电压vo上升，同时导通定时器开始定时。经过恒定导通时间TON后，导通定时器复位RS 触发器，S 关断，vo下降。当vo再次下降到vc时，S 再次导通，进入下一个开关周期。

1.2 仿真分析

设计图1 中各电路参数如表1 所示，以输出电容ESRr为可变参数，利用PSIM 软件进行电路仿真。

表1 V2-COT 控制Buck 变换器的电路参数

图2 为不同 ESR 时 V2-COT 控制 Buck 变换器的输出电压vo、电感电流i和驱动脉冲电压VS的时域波形的仿真结果。如图2（a）所示，当r=30 mΩ 时，Buck 变换器工作在不稳定的次谐波振荡状态，具有较大的输出电压和电感电流的纹波；如图2（b）所示，当r=100 mΩ 时，Buck 变换器工作在稳定的周期1 状态，具有较小的输出电压和电感电流的纹波。由此可见，当输出电容的ESR 较小时，V2-COT 控制Buck 变换器将出现不稳定的次谐波振荡现象。

图2 不同ESR 时的仿真结果

1.3 仿真分析

基于扰动引起的电感电流变化和输出电容电荷变化[7]，分析V2-COT 控制Buck 变换器存在的次谐波振荡现象，并导出产生次谐波振荡的临界输出电容ESR 值。

图3 为次谐波振荡分析波形示意图，给出了第n-1个开关周期、第n个开关周期和第n+1 个开关周期的电感电流i、输出电压vo、误差信号vc和驱动脉冲电压VS的波形。此外，ΔI为稳态时电感电流的峰-峰值，Io为稳态时输出电流。当输出电压纹波相对于其稳态量可忽略不计时，电感电流的上升斜率m1和下降斜率m2可看作恒定值。t0～t4表示第n个开关周期的5 个关键时刻，其中t0和t4分别为第n个开关周期的起始时刻和结束时刻。

图3 次谐波振荡分析波形示意图

加入扰动后，第n-1个开关周期结束时刻即t0时刻，电感电流的偏差量为ΔIn-1。由于电感电流上升斜率和导通时间恒定，故在t2时刻，电感电流的偏差量也为ΔIn-1。以此类推，在t4和t5时刻，电感电流偏差量均为ΔIn。由于开关频率远大于变换器LC 滤波网络的本征频率，故可以认为电感电流纹波完全流入输出电容所在支路。由此可知，电感电流的变化量将全部用于引起输出电容电荷量的变化，如图3中的阴影部分所示。

在t0～t4时间段即第n个开关周期内，图3 中各阴影部分对应的电荷变化量分别为：

在输出电容支路引起的电压变化量即输出电压变化量为：

进一步，电压误差信号的变化量为：

由图3 可以看出，在t0时刻和t4时刻，有vo=vc。由此可知，第n个开关周期内输出电压变化量等于电压误差信号变化量，即Δvo=Δvc。联立式（5）和式（6），有：

其中K为正整数，故式（7）可化简为：

图3 中，m1、m2、TON、Io和 ΔI为定值，若已知ΔIn-1，即可确定ΔQ1和ΔQ2。为了消除扰动引起的偏差，应使ΔIn＜ΔIn-1。由图3 可以看出，若ΔIn减小，ΔQ3将增大，进而式（8）的左边将增大，这样就要求输出电容ESR 值增大，即增大输出电容ESR 值可以消除扰动引起的偏差。由此可知，ΔIn=ΔIn-1为其临界条件，联立式（2）～式（4）和式（8），并考虑ΔI=m1·TON，有：

对第n+1 个开关周期进行相应的分析可以得到相同的结果，此处将不再赘述。

由以上分析可知，当输出电容ESR 值小于TON/2C时，V2-COT 控制Buck 变换器产生次谐波振荡现象；当输出电容ESR 值大于TON/2C时，次谐波振荡消失。因此，式（9）为消除次谐波振荡的临界条件，这与文献[4]所得结论一致。

2 稳定机理分析

当Buck 变换器工作于CCM 时，根据开关管S 和二极管D 的开关状态，Buck 变换器将在两个线性拓扑间不断切换。

S 导通、D 截止时，对应的状态方程为：

S 关断、D 导通时，对应的状态方程为：

以输出电容ESR 为可变参数，其他电路参数如表1 所示，V2-COT 控制Buck 变换器的分岔图如图4 所示。

图4 随输出电容ESR 变化的分岔图

图4 中，输出电容ESR 的变化范围为[30 mΩ，41 mΩ]。当输出电容ESR 值较大时，V2-COT 控制Buck 变换器工作在稳定的周期1 状态；随着输出电容ESR 值的不断减小，大约在r=38.53 mΩ 处，Buck 变换器的运行轨道经历了一次倍周期分岔，进入到周期2 状态。经短暂的周期2 状态，随着输出电容ESR 值的进一步减小，Buck 变换器的运行轨道进入到由次谐波振荡引发的混沌状态。由此可知，随着输出电容ESR 的减小，倍周期分岔导致V2-COT 控制Buck 变换器失稳。

3 实验验证

搭建V2-COT 控制Buck 变换器的实际电路，采用表1 的电路参数。不同输出电容ESR 值时，输出电压纹波Δvo、电感电流i和驱动脉冲电压VS的实验波形如图5 所示。如图5（a）所示为r=30 mΩ ＜TON/2C时，V2-COT 控制Buck 变换器工作在不稳定的次谐波振荡状态；如图5（b）所示为r=100 mΩ ＞TON/2C时，V2-COT 控制Buck 变换器工作在稳定的周期1 状态。实验结果与仿真结果基本一致，验证了仿真分析和理论分析的正确性。

图5 不同ESR 时的实验结果

4 结 论

V2-COT 控制技术广泛应用于各种便携电子设备、微处理器的VRM 中，然而当输出电容ESR 值较小时，V2-COT 控制Buck 变换器往往工作在不稳定的次谐波振荡状态，使VRM 无法正常工作。基于扰动引起的电感电流变化和输出电容电荷变化，导出次谐波振荡产生的临界输出电容ESR 值，进一步建立了V2-COT 控制Buck 变换器的分段线性模型，利用分岔方法，详细阐述了V2-COT 控制Buck 变换器产生次谐波振荡的动力学机理，得出倍周期分岔失稳是其根本原因，可为更好地消除该不稳定现象提供理论依据。