王淳宝，叶 东，孙兆伟，孙楚琦

(哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨 150001)

0 引 言

卫星作为空间力量重要组成部分，具有传送信息量大、不受地形限制等优点，可以为指挥者制定策略提供战场信息，也可为导弹等作战单元提供导航制导信息[1]。因此为了夺取战时空间信息主动权，对敌方卫星实施拦截打击有着重要意义。

针对拦截问题，文献[2-3]基于滑模面进行了导弹的制导与控制一体化设计，仿真表明了采用所设计的控制方法能够满足拦截要求。赖超等[4]考虑目标进行机动时的拦截策略，基于动态面和扩张状态观测器对制导与控制进行了设计，仿真分析了目标在进行正弦机动时，采用相应的控制策略能够实现对目标的精确拦截。虽然上述文献对目标拦截问题均进行了研究，但其中的目标并未进行机动或未采取最优的机动策略。而随着科技的发展，目标获取空间战场信息能力的提高，可以对战场情报进行分析，并做出相应的决策，采取最优躲避策略以应对不同的战场态势，此时拦截策略的设计需要考虑目标机动的最优性，传统的拦截方法已不能满足拦截要求，单边拦截策略已不再适用。此外，随着卫星任务的复杂化及多样化，目标的被动逃逸可能会影响其任务的实施，此时为了避免具有重要价值的卫星被拦截，附近通常会存在伴飞星进行主动防御，这种态势无疑增加了拦截难度，对空间拦截提出了更高的要求，因此研究存在防御器的多边拦截策略有着重要的意义。

针对多边拦截问题，学者们已经进行了充分的研究。史明明[1]分别考虑了卫星远程拦截、近程拦截时的控制策略，远程拦截时建立了考虑J2摄动的动力学模型，近程拦截以CW方程为模型，基于微分对策分别给出了相应的最优控制策略。Horie等[5]基于飞机三维动力学模型，通过微分对策理论将拦截问题转化为两点边值问题，通过仿真分析，最优飞行轨迹分为偏离垂直平面以及垂直面内运动的两个阶段。Shinar等[6]考虑二维平面拦截，且离散控制的情况，设计了拦截器在有限步数内成功拦截目标的最优控制策略。当拦截器动力学模型较复杂时，通过微分对策理论会得到非线性强耦合的两点边值问题方程组，一般难以求解。文献[7-8]给出了一种求解两点边值问题的方法，即半直接配点法：将整个控制过程离散化，分别对每段进行优化设计，以得到完整的控制规律，该方法可以有效地求解两点边值问题。

当拦截器距离目标较近时，拦截过程进入末端拦截，此时拦截器利用自身的敏感器可以获得精度较高的目标信息，从而实现精确拦截。针对末端拦截问题，Prussing等[9-10]应用主矢量理论分别研究了多脉冲逃逸策略以及拦截策略。文献[11]考虑航天器拦截目标后返回原轨道的情况，通过在目标函数中引入一个参数k对路径进行约束。Stupik等[12]基于CW方程，应用最大值原理求解拦截控制问题，对于开环解应用粒子群优化方法进行求解，闭环解应用Kriging方法求解，其中的Kriging方法是插值和外推相结合的方法，是一种状态反馈控制器。Gutman等[13]在双积分动力学模型的基础上，以终端相对距离为指标建立了拦截器与目标的控制策略，并分别给出了在极坐标、球坐标下的策略形式。文献[14-15]在给出拦截器与目标的控制策略的基础上，建立了关于拦截剩余时间的一元四次方程，以求解终端拦截时间，并讨论了方程的分叉现象。文献[16]讨论了拦截过程中角度测量存在噪声的情况，通过状态观测器实现对角度的估计，再将其应用于控制策略。

对于三星博弈问题，Garcia等[17-18]，Pachter等[19-20]假设拦截器、防御器与目标三者的速度大小不变，因此三者运动轨迹为直线，应用微分对策求解最优飞行路径角，经过进一步分析，三者轨迹覆盖区域为阿波罗尼圆，简化了求解过程。文献[21]以简单的双积分系统为模型，研究了拦截器、目标和防御器三者的追逃控制策略，同样对终端拦截时间进行了求解，仿真表明了过短的拦截时间不能实现对目标的拦截。

虽然对于航天器末端拦截问题已经存在较多的研究，但大多局限于拦截器与目标的双星博弈。对于三星博弈问题，大多局限于针对简化模型进行研究，与实际情况偏差较大。此外，对于不同博弈态势，终端拦截时间作为博弈策略参数，其设定具有随机性，导致策略自适应性较差。本文针对具有防御器的三星博弈末端拦截问题进行研究，由于各航天器之间利益对立，符合博弈思想，因此采用微分对策理论进行求解，推导了各航天器的博弈策略，并提出了时间分析方程以计算终端拦截时间，提高策略的自适应性。

本文安排如下：首先建立了航天器末端拦截动力学模型。其次，讨论了双星博弈态势，基于零控脱靶量推导了拦截器与目标的最优博弈策略，同时建立双边时间分析方程以消除终端拦截时间的随机特性，将随机终端博弈转化为固定终端博弈。再次，将双星博弈扩展为目标携带防御器的三星博弈，类似的方法推导了各航天器的分段博弈策略，同时修正双边时间分析方程以适应三星博弈态势。最后，将建立的博弈策略、时间分析方程应用于三星博弈拦截，并进行了相应的仿真分析。

1 末端拦截动力学模型

在末端拦截过程中，拦截器与目标的相对距离较近，因此在拦截器附近建立参考卫星，如图1，其中，O1为参考卫星，P为拦截器。设参考卫星运行在圆轨道，以参考卫星为原点，O1x轴沿着参考卫星地心矢径方向，O1z轴沿着轨道角动量方向，O1y轴满足右手定则，定义轨道坐标系O1xyz，在该坐标系下，拦截器相对参考卫星的动力学方程可以简化为CW方程。

图1 拦截器与参考卫星Fig.1 Interceptor and reference satellite

(1)

式中：x,y,z为拦截器相对参考卫星的位置，ω为参考卫星的轨道角速度，ux,uy,uz分别为拦截器的控制输入。

(2)

由线性系统理论可得状态转移矩阵为

(3)

其中的子矩阵分别为[22]

2 双星博弈拦截策略

若目标不携带防御器，则拦截过程呈现双星博弈态势，此时拦截器与目标的动力学方程均满足CW方程，即

(4)

定义拦截器与目标的相对状态

XPE=XP-XE

关于时间求导，并结合式(4)整理可得相对动力学方程

(5)

式中：C=B。

2.1 最优博弈策略设计

在拦截过程中，拦截器与目标围绕拦截终端距离展开争夺，因此只需考虑两星的位置矢量[14]，定义零控脱靶量ZPE(t)对系统进行降维处理

ZPE(t)=MΦ(tf,t)XPE

(6)

式中：M=[I3,03×3]，I3为3×3的单位阵。

对式(6)求导，并综合式(5)可得

M(ΦBUP-ΦCUE)=BPUP+CEUE

(7)

式中：tf为终端拦截时间，且BP=MΦ(tf,t)B=Φ12，CE=-MΦ(tf,t)C=-Φ12。

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 终端拦截时间的确定

由式(10)～(11)以及零控脱靶量定义式(6)可知，终端拦截时间是调整博弈策略的重要参数。选取不同终端拦截时间tf，将拦截器与目标的策略(10)～(11)代入式并积分，可得在不同拦截时间条件下，拦截器与目标相对距离的变化，如图2所示。可以看出，当选取特定的拦截时间后，拦截器会在该时刻实现对目标的拦截，并不会提前拦截目标，因此，终端拦截时间的设定直接影响了博弈结果。

图2 不同拦截时间下拦截器与目标相对距离的变化Fig.2 Relative distance between interceptor and target with different intercept time

但在文献[1]和[23]中，终端拦截时间均直接给定，随机性较大，对于不同博弈态势，需要设定不同的拦截时间，自适应性较差。针对该问题，提出双边时间分析方程以确定终端拦截时间，达到消除拦截时间随机性，提高策略自适应性的目的。

将拦截器与目标的博弈策略(10)～(11)带入式(7)中得

(12)

定义拦截剩余时间tgo=tf-t，当终端拦截时间不变时，有dtgo=-dt，于是

(13)

积分式(13)得到零控脱靶量ZPE(tgo)随剩余时间tgo的变化关系

(14)

定义ZPE(0)=l，其中l为拦截器的拦截半径，对式(14)取范数并记为

(15)

此外，对于式(6)有

(16)

联立式(15)～(16)两式，可以得到关于剩余时间tgo的方程，即

(17)

3 三星博弈拦截策略

对于具有重要价值的目标，附近通常存在伴飞防御器，以保护其不被拦截[24-25]，此时末端拦截会呈现三星博弈态势，博弈过程更加复杂，拦截更加困难。针对该问题，需要重新设计航天器博弈策略，并对双边时间分析方程进行修正。

在三星博弈态势下，拦截器、目标、防御器三星的运动均满足CW方程，即

(18)

定义拦截器与目标的相对状态XPE，以及拦截器与防御器的相对状态XDP，对其求导，并结合式(18)整理得到相对状态方程

(19)

(20)

式中：D=B。

3.1 分段最优博弈策略设计

与第2节类似，分别定义ZPE(t),ZDP(t)为拦截器与目标、防御器与拦截器的零控脱靶量

ZPE(t)=MΦ(tf1,t)XPE

(21)

ZDP(t)=MΦ(tf2,t)XDP

(22)

式中：tf2,tf1分别为防御器反拦截时间和终端拦截时间，且满足tf2

对式(21)～(22)两式求导，并结合式(19)～(20)两式整理得

(23)

BP2UP+DDUD

(24)

式中：BP1=DD=MΦ(tf1,t)B=Φ12(tf1,t),BP2=CE=-MΦ(tf2,t)B=-Φ12(tf2,t)。

在三星博弈拦截对抗中，拦截器与目标利益对立，拦截器与防御器同样存在利益对立关系，导致三星之间相互影响。为了降低该影响，以tf2作为博弈策略切换时间将其化为分段双星博弈：第一阶段为拦截器与防御器的双星博弈，此阶段拦截器只躲避防御器；第二阶段为拦截器与目标的双星博弈，此阶段拦截器已成功躲避防御器，只考虑拦截目标。因此定义指标函数JPE,JDP分别为tf1,tf2时刻的相对零控脱靶量

(25)

(26)

(27)

对式(25)进行类似地推导并综合上述分析，可得各航天器的分段最优博弈策略为

当t0

(28)

(29)

当tf2

(30)

UD=0

(31)

目标的博弈策略一直为

(32)

当拦截器采用策略(30)时，拦截器与目标之间的零控脱靶量变化如图3中的Z1，拦截器与防御器之间的零控脱靶量变化如图3中的Z4；当拦截器采用策略(28)时，拦截器与目标之间的零控脱靶量变化如图3中的Z2，拦截器与防御器之间的零控脱靶量变化如图3中的Z3。

图3 不同策略下零控脱靶量的变化Fig.3 Changes of zero effort miss under different strategies

可以看出，当拦截器躲避防御器时，会导致拦截器与目标之间的相对距离变大，因此为了达到拦截目标的快速性，需要提前拦截器博弈策略的切换时间点，在t0～tf2之间定义躲避时间tf3，拦截器在t0～tf2时间内采取如下分段策略：

防御器与目标的策略不变，记此时三星的博弈策略为(*)。相应的拦截过程为：当t0tf3时，拦截器切换为拦截策略(29)快速拦截目标。

由于策略(30)会导致拦截器与防御器之间的相对距离减小，因此需要合理设定切换时间点tf3，以保证在t0～tf2范围内拦截器不被防御器反拦截。

3.2 终端拦截时间的分段确定

定义拦截器与防御器的安全距离m，在t0～tf2时间内各航天器采取相应的分段博弈策略(*)，带入式(24)，同时令tgo2=tf2-t，由终端拦截时间tf2不变得到dtgo2=-dt，因此

当t0

(33)

当tf3

(34)

积分式(33)～(34)，并分别记为

ZDP(tgo2)=g1(tgo2)

(35)

(36)

由拦截器不被反拦截得到tf2时刻的终端条件

(37)

同时，在tf3时刻有状态连续条件

g1(tf2-tf3)=g2(tf2-tf3)

(38)

综合式(35)～(38)以及零控脱靶量的定义式(22)可解出最短躲避时间tf3。

4 仿真校验

为了验证博弈策略及时间分析方程的有效性，分别对双星博弈随机、固定终端拦截，以及三星博弈随机、固定终端拦截四种态势进行仿真验证。

初始条件如下：设拦截器、目标、防御器均在地球同步轨道附近运动，则将参考卫星选为GEO轨道上与其相近的卫星，轨道角速度为w=7.2722×10-5rad/s。拦截器的推力幅值为ρP=0.686 m/s2，目标的推力幅值为ρE=1/2ρPm/s2，防御器的推力幅值为ρD=5/8ρPm/s2。拦截器初始状态为[0, 0, 0, -0.005, 0, 0.005]，目标初始状态为[2, 0, 1, 0, 0.005, 0]，防御器初始状态为[1, 0, 0, 0.005, 0, 0]，位置单位为km，速度单位为km/s。设拦截器与目标之间的拦截距离为1 m，拦截器与防御器之间的安全距离为100 m。假设防御器反拦截时间tf2=200 s。

1) 双星博弈随机终端拦截，此时拦截空间只存在拦截器与目标。设终端拦截时间为200 s，图4和图5分别给出了该博弈态势下，拦截器与目标的运动轨迹和相对距离的变化。可以看出，在终端拦截时间为200 s的情况下，拦截器可以实现对目标的拦截，但由图2可知，设定拦截时间为200 s不是最快的拦截方案，即可以在更短的时间内拦截目标。

图4 随机终端下的双星博弈运动轨迹Fig.4 Motion trajectory of two-satellite game with stochastic terminal time

图5 随机终端下的双星博弈相对距离Fig.5 Relative distance of two-satellite game with stochastic terminal time

图6给出了拦截器与目标的三维运动轨迹，图7绘制了两星相对距离的变化情况，可以看出，在126.28 s时，两星的相对距离为0.7 m，满足拦截条件。

图6 固定终端下的双星博弈运动轨迹Fig.6 Motion trajectory of two-satellite game with fixed terminal time

图7 固定终端下的双星博弈相对距离Fig.7 Relative distance of two-satellite game with fixed terminal time

3) 三星博弈随机终端拦截，即博弈空间存在拦截器、目标与防御器。此时的拦截时间、躲避时间均是随机变量，需要人为设定。

图8绘制了在不同躲避时间下，拦截器与目标终端距离随拦截时间的变化情况，此时暂不考虑拦截器是否被防御器反拦截。可以看出，随着躲避时间的增加，拦截目标所需时间也相应地增加，因此在博弈过程中，为了快速拦截目标，躲避时间不应过长。

图9绘制了在不同拦截时间下，拦截器与防御器最短距离随躲避时间的变化情况，类似地，此时暂不考虑是否成功拦截目标。可以看出，拦截器与防御器最短距离与躲避时间之间呈现非线性关系，而且终端拦截时间对躲避时间也会产生影响，当设定拦截时间大于300 s时，拦截器不被反拦截至少需要15 s，但当拦截时间设定为200 s时，相应的躲避时间只需6 s左右，因此在博弈开始前，终端拦截时间与躲避时间应合理地进行设定，以达到最优拦截状态。

图8 拦截器与目标终端距离Fig.8 Terminal distance between interceptor and target

图9 拦截器与防御器的最短距离Fig.9 Minimal distance between interceptor and defender

若不采用时间方程计算拦截时间与躲避时间，为了保证成功拦截目标且不被反拦截，拦截器通常会选取较大的拦截时间，相应的躲避时间也会较大。这里选取拦截时间tf1=500 s，躲避时间tf3=50 s进行仿真，此时拦截器、目标和防御器的三维运动轨迹如图10，图11给出了三星之间的相对距离随时间的变化规律。

从图11中可以看出，博弈过程中拦截器与目标之间的相对距离峰值较大，虽然最后成功拦截，但消耗了较多的时间，拦截效率较低。同时拦截器与防御器之间的最短相对距离为140 m，有被反拦截的风险。由图8，图9可知，相比于选取较大的拦截时间与躲避时间，存在着更优的时间选取方案。

图10 随机终端下的三星博弈运动轨迹Fig.10 Motion trajectory of three-satellite game with stochostic terminal time

4) 三星博弈固定终端拦截。此时通过时间分析方程得到终端拦截时间tf1=200 s，躲避时间tf3=8 s。相比于2)的双星博弈固定终端拦截，终端拦截时间明显增加，防御器的引入直接减慢了博弈速度。相比于3)的三星随机终端博弈，时间方程可以计算得到图8，图9中最佳的时间选取方案，此时的拦截方案更优。

图12、图13分别给出了三星的运动轨迹以及相对距离的变化情况。可以看出，拦截器与目标的终端距离为1 m，满足拦截条件。此时拦截器与防御器之间的最小相对距离为190 m。与3)的三星随机终端博弈相比，8 s的躲避时间就可以保证拦截器不被防御器反拦截，明显缩短了躲避时间，节约了拦截成本，提高了拦截效率。

图12 固定终端下的三星博弈运动轨迹Fig.12 Motion trajectory of three-satellite game with fixed terminal time

图13 固定终端下的三星博弈相对距离Fig.13 Relative distance of three-satellite game with fixed terminal time

5 结 论

本文研究了航天器末端拦截博弈问题，基于微分对策理论建立了多边拦截策略，具有以下特点：

1) 针对策略中终端拦截时间的设定随机性问题，创新性地提出了时间分析方程，将随机终端博弈转化为固定终端博弈，提高了拦截策略的自适应性。

2) 拦截空间中防御器的引入导致三星博弈态势，以及拦截时间的延长，通过博弈策略的切换将其化为分段双星博弈，降低了拦截难度。

3) 针对不同博弈态势进行仿真，结果表明应用所建立的博弈策略，拦截器在不被防御器反拦截的情况下，能够实现对目标的打击，具有一定的工程价值。