吴林霖 卢香竹

【摘 要】线性微分方程具有悠久的历史，并保持着发展潜力，主要原因是其扎根于各种实际问题。其中，二阶常系数线性微分方程在线性微分方程的研究中具有非常高的地位，其解决方案已较为完善，但面对不同问题时解决方案有所不同。本文探究了二阶常系数线性微分方程的求解方法。

【关键词】二阶常系数线性微分方程;相关定理解法

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0254-03

微分方程是大多数数学思想和理论的来源。众所周知，从创建之日起，微分方程一直是研究自然变化、人类社会结构、生态结构以及工程技术问题的有力工具[1]。线性微分方程具有悠久的历史，并继续保持着发展潜力。二阶常系数线性微分方程在线性微分方程的研究中，被普遍运用在工程技术、力学和物理学中，以解决实际生活中的难题[2]。

1   二阶常系数线性微分方程解的相关定理

1.1  二阶常系数线性微分方程的概念

形如①的方程被称作二阶常系数线性微分方程，在这里，、都是实数，

是给定的连续函数[3]。

如果，则方程式①变成

②

方程②叫做二阶常系数齐次线性方程，方程式①叫做二阶常系数非齐次线性方程。

1.2  二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加性

定理1 如果函数与是方程②的两个解，则也是方程②的解，其中、是任意常数。

1.3  二阶常系数非齐次微分方程的解法

定理2 假定为方程①的一个特解，为式①相对应的齐次方程式②的通解，那么为方程式①的通解。

定理3 假定二阶非齐次线性方程①右边的为几个函数之和，如

③

则与分别是方程与的特解，所以有为方程③的特解，非齐次线性方程①的特解能够用上述方法求取[4]。

2   二阶常系数线性微分方程的几种解法及应用

2.1  二阶常系数齐次线性微分方程的解法

求二阶常系数线性微分方程的解一般采用特征

值法。

求微分方程的通解。

解：设特征方程的根分别为、。

（1）假如两个实根不相等，那么这个方程有两个实值解，即、，所以通解是

（、为任意常数）。

（2）假如两个实根相等，那么这个方程有二重根，这个方程的通解的结构为

（、为任意常数）。

（3）假如两个根是共轭复根，那么这个方程的通解的结构是

（、为任意常数）。

2.1.1  特征根是两个实根的情形

假设、为上述特征方程的两个不相等的实根，因此相对应的方程有下面两个解，即、。

证明：因为这两个解在区间上是线性无关，因此这两个解可以构成方程的基本解组。实际则有

而最后一个是著名的范德蒙德行列式，它等于-

。因为假定，所以这个行列式不等于0，进而，进一步、线性无关，也就是说，方程的通解能写为

（、为任意常数）。

假如特征方程有复根，那么因为方程的系数为实常数，所以复根共轭出现。假定为一个特征根，那么-同样是特征根，所以相对应的方程的两个复值解为

;

。

依据定理能够知道，复值解的实部和虚部亦为方程的解。这样通过相对应的特征方程的一对共轭复根，能够求得方程的两个实根，即、。

2.1.2  特征根有重根的情形

设特征方程有重根，则有

，

。

先设，即特征方程有因子，于是

。

也就是说，特征方程的形状为

，

而对应的方程

，

变为。

显而易见，这个方程有个解，，并且这些解都是线性无关的。所以特征方程的重零根也就為方程的个线性无关的解，。假如这个重根，则能够进行变量变换，得，又依据

可得

，

于是对应方程可化为

。

在这里面，仍旧是常数。所对应的进一步的特征方程是

，

直接计算易得

，

因此

从而，。

2.2  二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

二阶常系数非齐次微分方程的通解=相应齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解，根据特征方程根的情况可求出齐次微分方程的通解，这部分在上面已论述，现在着重论述求二阶常系数非齐次微分方程的特解的方法，一般采用常数变易法，把方程分为两种类型[5]。

2.2.1  类型1

第一种类型：（其中，为次多项式）。

根据的形式，可以推测方程①的特解为，然后把代入方程方程①，整理得

④

（1）如果是的特征根，即

。要使④的两端恒等，则也要是一个次多项式，即，所以特解形式为。

（2）如果是的单根，则，但因为，所以要使④的两端恒等，则要是一个次多项式，即，所以特解形式为，。

（3）如果是的重根，则，且，要使④的两端恒等，则要是一个次多项式，即，所以特解形式为。

综上可得到不同情况下方程的特解，虽然特解形式得出了，但是仍要确定，所以要把代入原

二阶常系数非齐次线性微分方程。此过程非常繁琐，为了简化计算，需要把代入①式，用待定系数法求[6]。

2.2.2  类型2

第二种类型：

可以把分成两部分即、。

若，则有

⑤

⑥

利用欧拉公式把变形，则有

。

构造函数         ⑦

则其特解形式为

然后把代入进行计算。则方程式⑥的特解取为的实部，方程式⑦的特解取为的虚部。

在二阶线性微分方程的求解中以及实际的问题解决中，取得了比较丰富的成果。二阶常系数线性微分方程的解法当中具备代表性的解法是特征方程法、常数变易法这两种解法。针对具有恒定系数的二阶非齐次线性微分方程，存在一种通用的求解方法，但该方法只能求解某些特殊类型。

【参考文献】

[1]吴文荣.二阶变系数线性微分方程的解法[J].江西农业大学学报，1997（4）.

[2]王莉.二阶变系数线性微分方程的解法[J].湖南城市学院学报（自然科学版），2016（3）.

[3]陈惠汝，刘红超.二阶变系数线性微分方程的变量代换解法[J].高等函授学报（自然科学版），2008（3）.

[4]赵临龙.二阶变系数线性微分方程的一种解法[J].浙江海洋大学学报：人文科学版，1996（1）.

[5]赵临龙，成波，王克刚.二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法[J].吉首大学学报：自然科学版，2001（2）.

[6]高杨，王贺元.一类二阶变系数线性微分方程的解法[J].高等数学研究，2014（1）.

【作者简介】

吴林霖（2000～），女，辽宁大连人，渤海大学数学与应用数学（师范）专业2018级在读本科生。

卢香竹（1999～），女，辽宁东港人，渤海大学数学与应用数学（师范）专业2017级在读本科生。