王绍坤

【摘 要】探索型问题常涉及多方面的数学知识和数学思想方法，能很好地考查学生的创新能力、应变能力以及数学核心素养，所以这类问题成了高考和中考的热点命题源。本文结合实例就此类问题的解法进行归纳总结，并撰写成文，以期供同仁参考。

【关键词】探索型问题;核心素养;条件;结论

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0151-03

如果把一个数学问题看作是由条件、结论、解题依据和解题方法四要素组成的一个系统，那么可以把这四要素中的两个是未知问题称为探索型问题。探索型问题一般分为是否存在型问题、条件探索型问题、结论探索型问题、规律探索型问题[1]。

1   是否存在型问题

是否存在型问题的解法一般是先假设问题结论存在，通过问题的条件，结合数学定义、定理等知识导出矛盾，或者从部分结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分。

1.1  假设存在，验证推理

图1

例1 如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为（0，1）、（2，0）、（0，0），将此三角板绕原点逆时针旋转90°，得到。①某一抛物线经过点、、，求该抛物线的解析式;②是否存在第一象限内抛物线上的一动点，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出的坐标;若不存在，请说明理由。

解：问题①：满足条件的抛物线的解析式为，解略。

问题2：假设存在点（，），>0，>0，使四边形的面积是面积4倍。

图2

∵点在抛物线上，

如图2，连接、、，

∵四边形的面积是面积的倍，则，

即，解得，

此时，即。

∴存在点（1，2），使四边形的面积是面积的4倍。

评析：本题的第②问是一个肯定性的存在型问题，解决这类问题可以先假设满足条件的“对象”存在，承认结论，即变条件为结论，并推理论证。若推论无矛盾，则结论确定存在;若推证出矛盾，则结论不存在。

1.2  假设存在，推出矛盾

例2 已知函数求证：方程没有负的实数根。

解法一：假设存在满足，则即。

∵

∴，即。

与相矛盾，因此假设错误。

∴方程没有负的实数根。

解法二：假设存在满足。

（1）当时，。所以，与矛盾;

（2）当时，。所以，与矛盾。

因此假设错误。所以方程没有负的实

数根。

评析：本题使用了反证法解题思想，在假设存在的基础上推出与问题条件相矛盾的结论，这是解决否定型存在问题的重要方法之一。

2   条件探索型问题

条件探索型问题的解决方法是由结论到条件的逆推探索。它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。其推理实际上是寻求问题成立的充分条件。

2.1  执果索因，分析探求

例3 已知，证明：。

证明：要证，只需要证。

∵，

故只需要证，即要证，只需证，只需

要证，即，而此不等式显然成立，故原不等式成立。

评析：通过反推，逐步寻找使结论成立的充分條件，正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键。

2.2  等价转化，寻求条件

例4 设两点在抛物线上，是的垂直平分线。当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论。

解：两点到抛物线的准线的距离相等。

抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0。

∴，

∴上述条件等价于时经过抛物线的焦点。即当且仅当时，经过抛物线的焦点。

评析：本题是用等价转化的数学思想方法解决条件探索性问题，对问题做等价转化是解探索性数学问题的常用方法。

3   结论探索型问题

结论探索型问题解决的过程一般是从命题条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则等，通过演绎推理，逐步接近要探索的结论，直到完成命题结论的

探索[2]。

3.1  合情推理，直接探求

例5 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问某次数学模拟考试的成绩。老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩。”根据上述信息，以下四种说法正确的有____。（填序号）

（1）乙可以知道四人的成绩。

（2）丁可以知道四人的成绩。

（3）乙、丁可以知道对方的成绩。

（4）乙、丁可以知道自己的成绩。

解：因为甲不知道自己的成绩，所以乙、丙的成绩为一人优秀一人良好，进而甲、丁两人一人优秀一人良好。乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到了甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩。故只有说法（4）正确。

评析：合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确（在前提和推理形式都正确的前提下）。

3.2  巧构图形，直观探求

例6 正数满足条件，求证：。

图3

解：将正数同线段类比，从线段之积联想到图形的面积，可构造图形，作边长为的正三角形，在其三边上顺次截两段，并依次连结各截（如图3），显然，各边小三角形的面积总和小于，即，

。

评析：通过上述例题的解法可以发现，对一些并不涉及图形的问题，如能适当构造出相应图形，则解题会变得直观、清晰。

综上所述，通过对以上中学数学探索型问题的解决方法可以得到，探索型问题，通常考查学生的数形结合、分类与整合、特殊与转化、函数与方程思想及数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养[3]。在数学教学中，注重探索型问题教学研究，有利于激发学生的数学学习欲望，挖掘学生的创造潜能，提高学生的思维品质。因此，数学教师在平时的教学中应重视探索型数学问题的研究和教学。

【参考文献】

[1]周沛耕.怎样学好高中数学[M].北京：科学出版社，1996.

[2]罗增儒.“以错纠错”的案例分析[J].中学数学教学参考，

2001（9）.

[3]李道洲等.初中数学探索性问题[M].上海：华东师范大学出版社，1999.