中国空间技术研究院 通信卫星事业部，北京 100094

对空间碎片的检视、抓捕或操控需要使用“悬停”技术，使任务航天器相对于空间碎片在指定坐标系中，长期稳定地静止于某个固定点[1]。该固定点可能位于空间碎片轨道平面内，也可能位于轨道平面外。这种悬停不仅有利于开展类似于“凤凰计划[2]”的空间碎片再利用任务，还将有利于开展大规模航天器的在轨组装。

对于定点悬停，林来兴[3]等研究了卫星对空间目标悬停的轨道动力学与控制方法，主要解决了面内悬停的控制建模。程博[4]等推导了航天器多脉冲悬停速度脉冲控制量的计算方法，相比于近距检视操控中的悬停要求，悬停精度仍有待提升。对于悬停控制而言，显然更关心控制能量消耗[5]。另一方面，国内外的大多数研究主要集中在悬停控制方法方面，通过控制所需速度增量计算燃耗量[6-9]，对于燃耗的数学模型、不同燃耗速率分布区域的分析尚不够精准和直观。如朱亚文、闫野[5,9]等研究了圆轨道或椭圆轨道条件下，对空间碎片任意位置悬停的非开普勒轨道开环控制方案及控制加速度，并给出了千米级距离上的悬停燃耗分析。

然而，在超近距离(15 m以内[10])高分辨率检视或精细操控任务中，为建立严格相对静止条件，要求任务星定点精度高(误差不大于0.1 m)，定点的时间长，燃耗预测精度高。此外，考虑到任务星可能会从多种方位观测或操控碎片本体，可定点的悬停位置具有全方位悬停要求和安全距离约束。因此，有必要整体研究任务星的悬停位置、悬停时长、悬停燃耗三者的耦合关系，并进一步研究在全方位悬停要求和安全距离约束条件下悬停的最省与最费燃耗问题。这一研究将可用于指导在轨操控任务星的总体设计，牵引多种在轨操作手段，提升在轨服务任务多样性能力。

本文研究任务星采用连续推力作用下进行近距离(100～1 m)任意定点悬停(称为随遇悬停)的抵近控制模型及相应的燃耗数学模型。文章首先分析了近距定点悬停控制的可行性和控制方法。然后根据控制方法分析了悬停任务星的推控要求。接下来分析了近距随遇悬停的可能的推控分系统配置，最后建立了长时近距随遇悬停的燃耗的解析模型及燃耗速率变化的解析模型。

1 悬停可行性分析

1.1 定点悬停的可行性分析

图1 空间碎片轨道坐标系Fig.1 Illustration of hovering in close range to space debris

(1)

x(t)=cx,y(t)=cy,z(t)=cz

所需要的轨道保持力为[12]:

(2)

式(2)说明，随遇定点悬停是可行的。关于定点保持所需的控制力，在不计扰动的情况下，可以得出结论：1)悬停星所需保持力沿两正交方向，分别为轨道系下的X向和Z向；2)保持力的大小与质量、相对位置坐标值成正比。

1.2 近距随遇悬停的控制方法设计[13-14]

(3)

式(1)、式(3)两式相减，得到：

(4)

(5)

定常性含义为：仅与空间碎片的轨道高度和期望保持的相对位置有关。常值项推力可表述为：

(6)

(7)

则状态方程演化为：

(8)

(9)

式中：K为反馈系数矩阵。则状态方程演化为：

(10)

其中，

综上，结合式(7)分析，任务星的推力控制需求为：1)长时连续推力；2)可变推力。相应地，控制量应由两部分推控贡献组成：反馈变推力和常值项推力。

2 近距悬停控制的连续推力需求分析[14]

考虑椭圆轨道因素和摄动因素后，常值项推力和反馈变推力将相应发生一定变化，以下开展详细分析。

2.1 常值项推力量级分析

以下分析常值项推力量级，以及考虑椭圆轨道因素后，常值项推力的需求变化。参照式(6)，空间碎片星上单位质量所需常值项推力具有如下形式：

(11)

很容易看出单位质量的常值项推力与悬停位置的X向、Z向距离的关系为线性相关，且相互独立。单位质量的常值项推力随空间碎片的地心距的关系如图2所示。

从图2可以看出：1)在一定轨道高度，Fxconst、Fzconst随相对悬停的距离增大而线性增加；2)若要保持一定悬停距离，Fxconst、Fzconst随着轨道高度的升高而降低。考虑式(6)，有：

(12)

常值项推力仅分量Fxc、Fzc存在。Fxc、Fzc除具有与Fxconst、Fzconst一致的特性之外，还与任务星质量线性相关。

图2 任务星单位质量所需的保持常值项推力Fig.2 Constant thrust for per kilogram of hovering satelllite

表1比较了不同任务星质量的条件下，Fxc、Fzc在近地轨道和同步轨道的量级变化。

这里应注意，所谓“常值项推力”意指质量不变、定点位置不变时推力保持常值。若考虑质量发生变化，如燃料消耗过程，该推力将发生变化。变化规律与质量呈线性关系，如式(12)所示。

2.2 椭圆轨道因素对常值项推力的影响分析

|Fxconst|min≤|Fxconst|≤|Fxconst|max

(13)

|Fzconst|min≤|Fzconst|≤|Fzconst|max

(14)

由前分析已知，Fxconst、Fzconst的大小在同步轨道高度达到最小值，在轨道高度的下限(如近地轨道)达到最大值，因此可认为：

(15)

表1 不同任务星质量的条件下，Fxc、Fzc在近地轨道和同步轨道的量级

(16)

因此，空间碎片轨道为椭圆轨道、且近地点高于300 km的情况下，Fxc、Fzc将分别在表1所示的每一项悬停位置的最大、最小值之间变化。

2.3 摄动因素分析

任务星受到扰动，会偏离需要的保持位置。在轨航天器受到的扰动力主要包括地球J2项摄动、月球引力、光压力等，其中地球J2项摄动的影响较为明显[15-17]。

对于近距悬停的轨道控制，任务星偏离期望保持位置的运动现象，主要由空间碎片受到的J2项摄动力和任务星受到的J2项摄动力的差造成[12]。由于任务星在空间碎片附近很小范围内(100 m内)悬停，地球J2项摄动施加在空间碎片和任务星的差别,与近距悬停所需的控制力相比很小，故可认为在悬停保持时，引起任务星偏离某平衡位置的扰动力很小[12,15-17]。以下以ΔaJ2表示J2项摄动力在任务星和空间碎片上引起的加速度的差。

日、月对于同步轨道卫星的摄动力与地球中心引力之比分别是0.75×10-5和1.63×10-5 [15-17]。100 m近距域内，任务星的地心距和空间碎片的地心距的差达到最大值100 m时，有：rs=rm±0.1 km，此时太阳摄动力在任务星和空间碎片上引起的加速度的差为：

7.964 4×10-12m/s2

(17)

同理，100 m近距域内，任务星由于受到月球摄动力引起的、与空间碎片的加速度差最大为：

1.730 9×10-11m/s2

(18)

根据式(5)，可知在考虑摄动因素时的状态方程为：

(19)

τ=Δamoon+Δasun+ΔaJ2

(20)

可见，由日月摄动力引起的相对加速度，与近距悬停所需的连续推力引起的加速度相比，具有较小的量级(以100 m处近距悬停为例，连续推力引起的加速度为10-6m/s2量级，见表1)，故研究动力学控制(式(8))时，将日月摄动力、J2项摄动力视作小量级的扰动予以忽略是合理的。

综上，在进行近距悬停的动力学分析时，地球J2摄动和日月引力摄动可以视为小量级扰动予以忽略。

2.4 摄动因素对反馈变推力的影响分析

在不计扰动时，任务星在期望保持的悬停位置处，仅需常值项推力即可实现定点悬停。

考虑扰动因素影响，在任务星受到小量级的扰动(日月摄动及J2项摄动)之后，反馈控制推力纠正由扰动引起的位置偏差，在长时间的悬停过程中，反馈控制将体现出利亚普诺夫渐进稳定的效果[13]，任务星将保持在平衡位置附近小的临域之内，由此可认为反馈控制推力与扰动力是处于同量级的。

综上，定点悬停所需连续推力的主要部分为：常值项推力。常值项推力量级与悬停位置和空间碎片实时的轨道高度相关(见表1)。

3 近距随遇悬停的燃耗分析

3.1 定点悬停的应用场景设想

定点悬停将会用于对空间碎片详察检视或抓捕操控任务中。根据前述的分析，采用状态反馈，任务星需要具有测量相对位置坐标的能力。这一能力需求可以由具有测距、测方位角能力的相对测量系统满足，通过测距、测方位角可以推算得出相对位置坐标。

相对位置坐标的精度将高于定点悬停的控制精度。如果定点悬停精度要求严苛，如误差不高于0.1 m，则相对位置坐标的测量误差将必须低于0.1 m， 由此，高精度定点悬停对相对距离和相对方位提出了高精度测量的要求。

相对距离可以由激光测距获得，在100 m以内范围，激光测距可以获得厘米级的误差。而要获取相对方位信息，任务星可以通过单目高分辨率相机成像或双目相机观测[18]，获得空间碎片视线方位信息，该视线方位信息在相机坐标系下表述，再进一步通过坐标变换可将视线方位信息转换至任务星轨道系下。任务星轨道坐标系与空间碎片的轨道坐标系保持一致。通过任务星轨道系下空间碎片的视线方位信息可得出空间碎片轨道系下，任务星的相对方位信息。此外，任务星上光学系统单目或双目相机还可兼顾对目标的监视观测等任务[19]。

因此，任务星上配置激光测距仪和高分辨率相机或双目相机是一种有效的工程方案。其中相机的分辨率指标要求源于视线方位信息的测量精度要求，将在后续工作中继续开展研究论证。

3.2 长时悬停推控分系统配置

悬停燃耗由推力器长时点火引起。而推力的主要组成部分为常值项推力,故常值项推力引起的燃料消耗将占据悬停期间燃料消耗的绝大部分。

根据式(6)中的推力表述，悬停星需要沿轨道坐标系X向和Z向的常值推力。工程中可采用设计方案如下：沿X向、Y向和Z向分别布置推力器喷管，Y向喷管仅提供反馈变推力，X向和Z向喷管提供常值推力和反馈变推力。推控喷管配置示意如图3所示。根据第2节的分析，长时定点悬停中，任务星将保持在平衡位置附近小的临域之内，可认为反馈控制推力与扰动力是处于同量级的[14]。这一量级远小于常值项推力。喷管推力的主要组成部分应为常值项推力，图3中标示的常值项推力分量分别为Fxc、Fzc。

图3 任务星推控喷管配置示意Fig.3 Illustration of nozzle configuration for close-range hovering satellite

实现连续可调小推力是悬停控制方法对推力提出的要求。达到10-2～10-7N量级(见表1)的连续可调节推力将面临一定工程难度。一种工程上较为成熟的方法是脉宽调制控制。在悬停时间内，脉宽调制的推力总冲量与连续可变推力的总冲量相等。因此，不论在工程中采用连续可调节小推力还是采用脉宽调制，均可以根据连续可变小推力计算悬停总冲量。

喷管的连续可变小推力主要组成部分应为常值项推力，悬停控制燃耗主要由常值项推力引起。因此，可以根据常值项推力计算悬停总冲量。

悬停总冲量可表述为：

(21)

3.3 长时悬停燃耗建模

根据常值项推力计算悬停总冲量实际为理想条件下的冲量需求。由理想条件下的冲量需求可以计算理想条件下的燃耗需求。悬停时长为t的悬停燃耗可表述为：

(22)

式中：ISP为推控发动机比冲；g为重力加速度。

考虑摄动等因素时，由于应对摄动的反馈控制推力远小于常值项推力，应对摄动的燃料量将远小于理想条件下的燃耗需求。因此，上式可近似作为任务星的悬停控制燃耗需求。

瞬时质量流量：

(23)

将式(6)代入式(23),得到：

(24)

随着悬停时间的增加，燃料不断消耗，整星质量ms(t)逐渐较小：

(25)

式中：m0为悬停开始时刻的总质量。于是得到：

(26)

初始条件：

(27)

对式(26)求导数得：

(28)

(29)

解微分方程得:

(30)

意味着：

(31)

式(31)具有解析形式，精确描述了燃耗速率的变化规律。求解该微分方程，并利用初始条件式(27)得：

Δm(t)=

(32)

悬停开始后，在t时刻消耗掉的燃料由式(32)计算得出。式(32)具有解析形式，精确描述了悬停期间燃耗的变化规律。式(32)可变换为以下形式：

(33)

式(33)表明，悬停星的燃料占比决定了在空间碎片附近某处的悬停时长。用于悬停的燃料占比越大，越有利于长时间悬停。

根据式(33)，如果设定任务星悬停位置为x0=-30 m,z0=10 m，则可得出10天时间跨度上的悬停燃耗趋势，如图4所示。其中，任务星在悬停初始时刻的总质量2 000 kg(参照美MEV飞行器)，控制推力器的比冲设定为300 s。

图4 任务星悬停位置为x0=-30 m,z0=10 m时，在240 h内的燃耗分析Fig.4 Fuel consumption of a hovering satellite in the vicinity of a debris with x0=-30m,z0=10m

式(31)～(33)可用于指导近距悬停卫星的总体设计。

综上，分析得出以下结论：

1)悬停控制燃耗主要由常值项推力引起；

2)悬停控制燃耗可由解析数学模型描述(式(32))；

3)用于悬停的燃料占比决定任务星在空间碎片附近某处的悬停时长(式(33))；

4)比冲越大，将使得悬停燃耗速率更低(数学关系见式(31))，有利于延长悬停时间；

5)减小悬停位置的X向和Z向距离，将使得悬停燃耗速率更低(数学关系见式(31))，有利于延长悬停时间；

6)轨道高度越高，悬停燃耗速率越低(数学关系见式(31))，越有利于延长悬停时间。

3.4 满足安全距离和悬停方位要求的悬停燃耗

开展悬停星燃耗分析时，应主要分析在半径为r0的球面之外的空间中，不同悬停位置的悬停燃耗速率。设：

P0=(|3x0|+|z0|)

(34)

则式(34)表征了轨道坐标系中的一簇等值面，等值面与Y轴平行，形成了四棱柱形态的包络空间。根据式(31)，对于一定值的P0，在四棱柱与Y轴平行的4个平面上任意点悬停(见图5)，具有相同的燃耗速率函数。4个平面与Y轴距离越接近，则燃耗速率函数值越低。以下称与Y轴平行的4个平面为悬停燃耗等速面。

图5 安全距离与四棱柱形包络空间示意Fig.5 Illustration of safe distance and enveloping space of quadrangular prism

将悬停燃耗等速面上的悬停燃耗速率记为CH。根据式(31)，有：

(35)

在四棱柱内部、球面外部空间的任意点处悬停，悬停燃耗速率标记为CI，∀t，必然有CI≤CH。相比于在四棱柱外部空间的任意点处悬停，悬停燃耗速率标记为CO，∀t，必然有CO≥CH。

取四棱柱平面及其内部、球面及其外部空间为悬停空间，则悬停空间已经能都满足安全距离约束和悬停方位要求。在悬停空间外部的点的悬停燃耗速率将大于悬停空间内部点的悬停燃耗速率。CH为安全距离约束和悬停方位要求同时得以满足时，允许的最小燃耗速率函数。

综上，考虑悬停星的燃耗需求，有理由以切点处悬停的燃耗速率CH为基准，结合悬停时长要求，分析安全距离约束和悬停方位要求同时得以满足时，悬停燃耗需求的下限。

式(35)中，P0满足以下几何关系(见图6)：

考虑到l22=l12+r02，可得：

(36)

进一步可得：

(37)

(38)

综上，关于悬停位置的讨论可得出以下初步分析结论：

1)悬停星检视与操控，悬停星应设立安全距离约束；

2)悬停星检视与操控，具有在空间碎片附近全方位悬停的需求；

3)安全距离约束和悬停方位要求同时得以满足时，存在允许最小燃耗速率函数(式(37))，可用于指导分析悬停所需推进剂的下限值(式(38))。

图6 安全距离与四棱柱形包络空间截面Fig.6 Cross section of safe distance and enveloping space of quadrangular prism

4 结束语

本文分析了近距离随遇悬停的控制方法，根据控制方法分析了近距悬停的推力需求：常值推力和反馈变推力。接着分析了近距随遇悬停的应用场景、推控分系统可能的配置，建立了长时近距随遇悬停的燃耗变化的数学模型，以及满足安全距离和悬停方位要求的悬停燃耗模型。综上，本文得出以下结论：

1)基于状态反馈理论可设计空间碎片近距范围内任意点的定点悬停控制方法(式(7)(9)),具有长时、连续、变推力等特点。所需控制量为常值项推力和反馈变推力控制量的和。

2)常值项推力引起的燃料消耗将占据悬停期间燃料消耗的绝大部分。

3)悬停控制燃耗及燃耗速率可由解析数学模型描述(式(31)(32))。这两项数学模型精确描述了悬停燃耗及燃耗速率受到：悬停时长、悬停开始时刻的整星总质量、发动机比冲、悬停位置、空间碎片轨道高度等要素的影响，可用于指导任务星燃耗预测和总体设计。

4)悬停星在安全距离约束和悬停方位要求同时得以满足时，存在允许最小燃耗速率函数(式(37))，可用于指导分析悬停所需推进剂的下限值(式(38))。

后续将结合具体任务，研究悬停期间姿态轨道一体控制方法，结合具体案例分析悬停燃耗特性。